Chapter10行波法和分离变量法本征值问题

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2012.03)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDUChapter10行波法和分离变量法本征值问题Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/

2、边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。一、一维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式1．行波法和d’Alembert公式（以无限长弦的自由振动为例）:其中和是已知函数。特征方程：.解得.于是作代换，原方程化简为.解之得，这是因为其中和是分别以为宗量的任意函数。因此，，将之代入初始条件，有这就确定了和的函数形式，—d’Alembert公式。37MethodsofMathematicalPhysics(2012.03)Chapter10Methodso

3、ftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU1．物理意义：在时空点波形如，到了下一时空点,波形变为如则也就是说，是一个沿轴正方向以速度传播的行波；同理，是一个沿轴负方向以速度传播的行波。在d’Alembert公式中，第一项表示由初位移激发的行波在时的波形为，以后分成相等的两部分，独立地向左右传播，速率均为.第二项表示由初速度激发的行波，时在处的速度为，在时刻，它将左右对称地扩展到的范围，传播速率也都是.另外需要说明的是，这

4、里我们没有明确写出边界条件，即或有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由和的具体形式来得到保证。和总是会局限在一个有限的范围内，即，当增大时，和都会足够快地趋于.因此，从d’Alembert解就可以看出，在有限的时间内，总还是在一个有限的范围内才不为.从概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示：在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。一、一维半无界域的自由振动问题初始条件的延拓1．齐次边界条件端点固定：37MethodsofMathema

5、ticalPhysics(2012.03)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU其中和是已知函数。因为和以及仅仅在有定义，不能直接应用的d’Alembert公式。为了能够应用d’Alembert公式，要设法将和以及的定义域延拓到（与Fourier展开时所作的延拓相似），并要满足边界条件.如果这样的解找到了，那么它的的部分就是原定解问题的解。为确定，将之代入边界条件，得.记，上式改写为

6、.由此可见，的形式（当其宗量为负值时）可以取为（取法不唯一，只要满足上式即可），.问题转化为37MethodsofMathematicalPhysics(2012.03)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU注意到，一定大于等于（因为），但可正可负，因此，当，即时，当，即时，综上所述，我们得到原定解问题（）的解物理意义：此解的部分与无界区域问题的解形式上是完全一样的，这说明了这样一个

7、事实，对弦上某一点来说，由于波的传播速度是，来自端点的扰动需要经历的时间才能影响到点。当时，端点的影响尚未到达点，这时点的振动就如同无界弦一样。在端点固定的情况下，端点处永远是波节，所作延拓是奇延拓。当波在端点处发生反射时，反射波位相将与入射波形相反，即位相有一突变值—半波损失（详见教材pp202-203）：当波碰到原点时立刻变号（方向与大小均变号），即处的合成波是波节反射后反射波继续传播，不过此波与原来波的位相有一突变值(大小与方向均变号)。37MethodsofMathematicalPhysics(2012.0

8、3)Chapter10Methodsoftravellingwaveandseparablevariables,andeigenvalueproblemYLMa@Phys.FDU但是，在端点自由的情况下（如半无界杆的端是自由的）：为确定，将之代入边界条件，得.记，上式改写为.由此可见，的形式（当其宗量为负值时）可以取为，,其中第一个式子来源于这