比较大小问题.doc

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1、比较大小问题比较几个数的大小，涉及的内容有指数对数的运算、三角函数运算、函数周期性单调性、不等式等诸多方面知识，内容具有一定的综合性，可以考察学生多方面能力，是数学竞赛的常见试题，也是中学数学教学的重要内容。一、基础知识1基本不等式：若，则；；或；。利用基本不等式是比较大小最常用的方法之一。2函数单调性：①若是增函数，且则；②若是减函数，且则。3函数周期性：如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期。一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN＋)也是f(x

2、)的周期。4比较法：①作差法，；。②作商法，如果都是正数，则有：；。5对数式和指数式的转换：若，则有：。6若角，则不等式成立。特别地，当时，是减函数。例1.边长为的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若。，则s与t的大小关系是（）A．s>tB．s=tC．s

3、上是减函数，而，∴。故选B。二、综合应用例3若f(x)(xÎR)是以2为周期的偶函数,当xÎ[0,1]时,，则由小到大排列是：。（1998年全国高中数学联赛）导析：此题必须要利用函数周期性把化归到[0，1]内，从而利用函数性质。，，。又第6页，共6页在[0，1]上是严格递增的，而，所以：。说明：在比较几个函数值大小时要注意对函数单调性，周期性和奇偶性的综合应用。例4设，其中，又试比较M，N大小。导析：，=。这里M、N有相同的部分，所以考虑用作差法。下面对进行讨论。；。综上所述。说明：对含有参数的比较大小，要注意对参数进行讨论。例5设，，则a,b大小关系为：；（1999

4、年河南省高中数学竞赛）导析：这里都是正数，所以可以考虑用作商法比较。。说明：运用作商法时必须对两数的符号进行讨论，否则就会出错。例6如果那么：（）A．B．C．D．（1982年全国高中数学联赛）导析：本题位置在对数的真数上，直接比较大小很难做到，所以需要转化成指数式。由对数和指数性质不难得到：，，。因为：，故，又第6页，共6页故。因此有：。应选A。例7对任何的，都有：（）A．B.C.D.（1982年全国高中数学联赛）导析：由于在。由题设知：，故。由在：∴。故选D。例8已知是n个正数，满足，试比较：与大小。（根据1989年全国高中数学联赛题改编）导析：利用基本不等式：（）

5、可得：所以：。说明：利用基本不等式比较大小时要注意不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”。三、强化训练1.当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：，乙，丙中间最大的一个（）A．必定是甲；B．必定是乙；C．必定是丙D．不确定与a,b的值有关。（1982年全国高中数学联赛）2.设a，b，c，d，m，n都是正实数P=，Q=，那么：A．B．第6页，共6页C．D．P、Q大小不确定与m,n值有关。（1983年全国高中数学联赛）3.设α∈则的大小顺序是（）ABCD（1990年全国高中数学联赛）4已知,则下列三数的大小关系是______。A．x

6、zf(b)>f(d)>f(g)B.f(a)>f(d)>f(b)>f(g)C.f(d)>f(a)>f(b)>f(g)D.f

7、(d)>f(a)>f(g)>f(b)（1997年全国高中数学联赛）8.已知令。则M与N的关系。第6页，共6页A．M>NB．M