直线参数方程t的几何意义06290.doc

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1、利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P()P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3＝,∣P0P3∣=(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<02、直线参数方程的一般式过点P

2、0()，斜率为的直线的参数方程是（t为参数）点击直线参数方程：yh0hP0hP()Q一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程.设点P()是直线上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P＝

3、P0P

4、则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P＝－

5、P0P

6、P0Q＝P0PcosQP＝

7、P0Psin仍成立设P0P＝t，t为参数，又∵P0Q＝，＝tcosQP＝∴=tsin即是所求的直线的参数方程∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点P()的有向线段的数量，且

8、P0P

9、＝

10、t

11、①当t>0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t<0时，点P在点P0的下方；yh0hP0hP()特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为①当t>0时，点P在点P0的右侧；②当t＝0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h③当t<0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上

12、的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线看作是实数轴，以直线向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣问题yh0hP1P0hP24：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？根据直线参数方程t的几何意

13、义，P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线上两点P1、P2的中点，∴

14、P1P

15、＝

16、P2P

17、P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t2<0一般地，若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点则t3＝（∵P1P3＝－P2P3,根据直线参数方程t的几何意义，∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则，反之亦然。

18、在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求和的长。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数），代入圆方程，得，整理得（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，，所以（2）解方程得，，所以，应用二：求点的坐标例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数），（1）设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参

19、数为t，则，所以，将t的值代入（1）式，当t＝4时，M点的坐标为；当t＝－4时，M点的坐标为，综上，所求M点的坐标为或.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，得：，整理得，，设这个二次方程的两个根为

20、，由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为