2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学案新人教A版 (2).docx

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1、1．1.3　导数的几何意义　1.理解曲线的切线的含义．　2.理解导数的几何意义．　3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数

2、(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C，直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但l1不是曲线C的切线；l2虽然与曲线C有不止一个公共点，但l2是曲线C在点N处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f(x)在x＝

3、x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系区别：(1)f′(x0)是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f′(x)是函数f(x)的导数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x)．联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　)(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　)(3)函数f(x)＝0没有导数．(　　)(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　)A.B．3C．4D．5解析：选A.根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.已知y

5、＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)

6、方程．【解】　因为y′＝＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.所以y′＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]，即x＋y＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．解：y′＝＝＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点坐标为(x0，2x0－x)，则切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0)．因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x0＋x＝(2－3x)·(－1－x0)，即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－.所以切点坐标为(0，0)或.当切点坐标为(0，

7、0)时，切线斜率k＝＝2，切线方程为y＝2x；当切点坐标为时，切线斜率k＝＝－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，即点P的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P处的切线斜率存在，则点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；若曲线y＝f(x)在点P处的切线斜率不存在(此时切线平行于y轴)，则点P处的切线方程为x＝x0.(2)若

8、切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最