2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式优化总结学案新人教A版.docx

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1、第一讲不等式和绝对值不等式本讲优化总结,　　　　　　　　[学生用书P20])　不等式性质的应用[学生用书P20]利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．　“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　易得a＞b且c＞d时必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d时，则可能有a＞b且c＞d.【答案】　A　如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a

2、2，－a，－a2的大小关系是(　　)A．a2＞a＞－a2＞－a　B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2解析：选B.由a2＋a＜0知a≠0，故有a＜－a2＜0，0＜a2＜－a.故选B.　基本不等式的应用[学生用书P20]在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．此方法可以推广到三个及三个以上正数的均值不等式求函数最值．对于满足①正数②定值两个条件，运用基本不等式后等号不能

3、取到的，该方法无效，这时应改用函数单调性求最值或值域．　函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值为________．【解析】　因为1＜x＜，所以3－2x＞0，x－1＞0，所以y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤＝＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，即x＝∈时，y取得最大值.【答案】　　若a，b，c＞0，求证：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6.证明：因为a，b，c＞0，所以a2＋b2＋c2≥3，①又＋＋≥3，所以≥9，②a2＋b2＋c2＋≥3＋9≥2＝6，当且仅当a＝b

4、＝c时等号成立．　绝对值不等式的解法[学生用书P21]1．公式法

5、f(x)

6、>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；

7、f(x)

8、

9、ax＋b

10、

11、ax＋b

12、>c(c>0)型不等式用此方法求解．2．平方法

13、f(x)

14、>

15、g(x)

16、⇔[f(x)]2>[g(x)]2.

17、ax＋b

18、>

19、cx＋d

20、和

21、ax＋b

22、<

23、cx＋d

24、型不等式用此方法求解．3．零点分段法含有两个及两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的

25、值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．

26、x－a

27、＋

28、x－b

29、>c和

30、x－a

31、＋

32、x－b

33、0)型不等式可用此方法求解．　(2016·高考全国卷乙)已知函数f(x)＝

34、x＋1

35、－

36、2x－3

37、.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

38、f(x)

39、＞1的解集．解：(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－

40、1时，可得x＝或x＝5，故f(x)＞1的解集为{x

41、1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为.所以

42、f(x)

43、＞1的解集为.　解下列关于x的不等式：(1)

44、x＋1

45、>

46、x－3

47、；(2)

48、x－2

49、－

50、2x＋5

51、>2x.解：(1)法一：

52、x＋1

53、>

54、x－3

55、，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，所以8x>8，所以x>1，所以原不等式的解集为{x

56、x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1－x＋3，即x>1，所以此时13时，有x＋

57、1>x－3成立，所以x>3.综上知原不等式的解集为{x

58、x>1}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，所以解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.所以解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，所以原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.　不等式中的恒成立问题[学生用书P21]对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(

59、x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．　设函数f(x)＝

60、x＋1

61、＋

62、x－4

63、－a.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解