指数幂的比较方法.doc

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1、例说比较指数幂大小的方法贾兴锐对于数，通常容易比较大小，而对于指数幂形式的数不容易比较大小。很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较。如何比较指数幂的大小呢?下面举例说明。一、换元法例1.若，且都是正数，则从小到大依次为__________。解：令。。同理可得。故。说明：一般的，如果是连等号形式的题目，通常采用换元法的思想去解题，但要注意换元的取值范围。二、化同底指数幂例2.设，则（）A.B.C.D.解：本题是比较大小，可化为同底指数幂。由，指数函数是增函数，故有，选D。说明：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将

2、其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断。三、图象法例3.下图是指数函数①，②，③，④的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）A.B.C.D.解：因为任何底数的1次幂都是底数本身，所以可作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数。答案选B。说明：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确。四、构造中间量法例4.比较的大小。解：因，所以。说明：当底数与指数都不相同时，选取适当的中间量（通常以0或1为中间量），从而可间接地比较出要比较的数的大小。五、作商法例5.若，试比较的大小。解：由，得。由

3、又。说明：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小。一般情况下，这两个值最好都是正数。六、直接利用函数的单调性例6.设与0的大小。解：当或时，显然。当时，若，则指数函数在R上是单调增函数。综上可知，对任何成立。说明：指数函数时在R上是单调增函数；在时在R上是单调减函数。指数函数的单调性，在比较实数的大小方面，具有特殊的功效。七、作差法例7.设，且，试比较的大小。解：。①当时，由。又，从而，所以。②当。又。。综上所述，。说明：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法。分类讨论是一

4、种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准。感悟与提高1.设a，b，c都是正数，且，则以下正确的是（）A.B.C.D.2.若正实数a，b满足，则有（）A.B.C.D.不能确定a，b的大小关系答案提示：1.设，两边取对数得。所以，选B。2.。若（因）与矛盾。同理也不可能。因此只有成立，选C。