5、的通项公式;(Ⅲ)设cn=n(3-bn),求数列{cn}的前n项和Tn.解:(Ⅰ)∵n=1时,a1+S1=a1+a1=2,∴a1=1∵Sn=2-an即an+Sn=2,∴an+1+Sn+1=2两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0,2an+1=an∵an≠0∴(n∈N*)所以,数列{an}为首项a1=1,公比为的等比数列.an=(n∈N*)(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…)∴bn+1-bn=()n-1得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2……bn-bn-1=()n-2(n=2,3,…)
6、将这n-1个等式累加,得bn-b1=1+又∵b1=1,∴bn=3-2()n-1(n=1,2,3,…)(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-17∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1]①而Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)]②①-②得:Tn==8-(8+4n)(n=1,2,3,…)19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(Ⅲ)证明
7、:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.解:(1)∵为正方形,,又面⊥面,又面∩面=∴AA1⊥平面ABC.(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,∴,∴∠CAB=,即AB⊥AC,又由(1)∴AA1⊥平面ABC.知,所以建立空间直角坐标系A-xyz,则(0,0,4),(4,0,4),(0,3,4),B(0,3,0)设面C与面B的法向量分别为,,由,得,令,则,同理,,,7由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.(3)证明:设,,则,,,因为三点共线,所以设,即,所以,(1)由得(2)由(1)(2)求得,即
8、,故在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,且=.20.已知函数过曲线上的点的切线方程为y=3x+1。(1)若函数处有极值,求的表达式;(2)在(1)的条件下,求函