探究线性微分方程解的存在唯一性.doc

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1、常微分课程报告题目：探究线性微分方程解的存在唯一性组长：侯芮组员：白柳纯张小雨李琳李振勇报告日期：5.15目录引言1一、引例2二、证明解的存在唯一性的步骤2三、一阶线性微分方程解的存在唯一性2四、探究n阶线性微分方程解的存在唯一性8五、用不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性101、不动点定理的一些结论102、不动点定理证明一阶线性微分方程解的存在唯一性12六、用不动点定理证明n阶线性微分方程解的存在唯一性16七、总结21引言从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明•我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干

2、类型,但同吋知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需耍的往往是要求满足某种初始条件的解，因此对初值问题的研究被提到重要地位，口然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一？Theanalysismethodofthatsatisfytheinitialconditionsthesolutionoflineardifferentialequationoffirstorderistheonlyproofofthetheoremof.Welearntouseseveraltypesofelementarysolutionoff

3、irst-orderequations,butalsoknowalotoffirst-orderequationsisnotelementarysolutionforthegeneralsolutionsof,andpracticalproblemsneedisoftenrequiredtomeetsomeinitialconditionsthesolution.Therefore,studyfortheinitialvalueproblemismentionedanimportantposition,naturaltoask:theexiste

4、nceofsolutionsofinitialvalueproblems?Ifthereisonlyone?引例^=P(x)y+Q(x)

5、，我们令f(x.y)=P(x)y+Q(x)这里f^y)是在带形域R:x-x(}0使不等式

6、/(1])-/(兀」2)

7、5厶卜1-旳

8、对于所有的(兀,X),(x,y2)w/?都成立丄称为利普希兹常数。下而我们给出一阶线性微分方程^=P(x)y+e(x)(1)clx解的存在唯一性定理:如果在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程⑴存在唯一的解j=0(x),—=P(x)V+QM定义于区间

9、x-x0

10、0

11、这里h=min(tz,-^-),M=max

12、/(^,y)

13、，(a：,y)gR下面我们分五个命题来证明。命题1设是y二0(0—阶线性微分方程单二代彷+的dx0(x)的定义于区间^0的解，所以尸是积分方程y=%+f[P(x)y+Q(x)]dxJ勺的定义于^?0即心+加(

14、小+曲)肚所以尸恥)是积分方程汗汩“小+如皿定义于恥心屮上的连续解。反之：rx(、y=y0+P(x)y+Q(x)]cbc尸g)是积分方程•・。h的连续解，则o(x)二％+f[P(X)0(X)+Q{x)]dxJ.YO微分得到(P=P(x)(p(x)+Q(x)ax将兀=兀0代入)y儿+[[P(x)y+QM]ebcJ・E得X0y)=y°+J(p(cx)+Q©)〃Xoi因此y=

15、x0