尺规作图的意义.doc

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1、尺规作图的意义初等几何屮，所接触到的问题主要有两类：一类是先假设给出合乎一定条件的图形，然示研究这个图形有些什么性质，证明题、计算题即属于这一类；列一类是预先给出一些条件,要求作出具备这些条件的图形，这便是作图题•按照一定方法作出所求图形的过稈，叫做解作图题.作图的方法，白然是和作图的工具有关的•古希腊以来，平面儿何屮的作图丁•具习惯上限用直尺和圜规两种•其屮，直尺假定直而且长，但上血无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮徳斯（Oenopides,约

2、公元前465年）提出的，以后又经过柏拉图（Plato,公元前427-347）大力提侣.柏拉图非常重视数学，强调学习儿何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.Z后，欧儿里得（Euclid,约公元前330—275）又把它总结在《儿何原本》一书屮.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律.其实，作图工具的这种限制并非个别人的癖好和主观旨意，主要有下面两方面的原因.1.和研究的对彖有关，因为初等平面几何研究的对象，只限于肓线、圆以及由它们（或其一部分）

3、所组成的图形•有了直尺和圆规这两种作图工具，直线和圆都已可作出，白然无需再增加别的工具.2.和公理系统有关.在欧几里得几何屮，从最少的基木假设（定义、公理、公设）出发，通过逻辑推理，得出尽可能多的命题，这里，关于作图题的结论是和几何证明、几何计算的结论相当的，欧儿里得公理系统里的儿条公设也就决定了貝能是限用尺规作图•并且，凡能作出的图形都在欧儿里得儿何里加以研究；凡研究其性质的图形也必可用尺规来作出.确定了作图T具后，还要明确允许怎样使用这两种T具.就是说，直尺和圆规具有什么功能？为此，在平面几

4、何里约定，利用育尺和圆规可以并且只能完成如下几个认可的简单作图:1°通过两个已知点可以作一条宜线（欧几里得几何公理系统屮的五条公设之一）；2。以一个已知点为圆心，以某一已知距离为半径，可以作一个圆（欧儿里得儿何公理系统屮的五条公设Z—）；3°两已知直线，一已知直线和一已知圆，或两己知圆，如其相交，可确定其交点.此外还附加一个规约：在已知直线上或育线外，已知圆周上或圆内（外），均可任意取点,但所取的点不得附加其余任何特殊性质.上曲1。-3°条叫做作图公法，用以指明尺规作图的可能范伟I.所谓利用直尺

5、和圆规来完成一个作图题，就是指上述作图公法所确定的三种简单作图的有限次的组合.能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图，从而最终可以得到给定条件的图形，这一类作图题称为尺规作图可能问题•反之，凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形，这一类作图题就称尺规作图不能问题.下面通过几个例子，从正、反两个方面来加深理解尺规作图的意义.［例1］已知ZA0B,求作射线0S,使ZA0S=ZS0B.El作法：n以点。为圜心，任意长为半径作縫（公法「）;交0A于点D,交0B于点E（公

6、法3）厅DE。2）分别以点D和E为圆心，以大于2的同样长为半径作弧（公法2），此两条弧相交于点S（公法3°）・3）作射线OS（公法1。）。则OS就是所求的射线.例1的上述作图过稈，实质上可以分解为作图公法2。,3°,3°,2°,3°,1°的有限次组合.不仅例1是这样，任何一个尺规作图可能问题，都应能分解作图公法1°一3°的有限次的组合.［例2］已知ZA0B,求作射线OS,使Zaos=

7、zaob.作法一古希腊物理学家兼数学家阿基米徳（Archimedes,公元前287—212年）的著作屮，记载了三

8、等分一个已知角的方法如下：1）以点0为圆心，取任意长r为半径作圆，与0A所在真线相交于两点D、D1,与0B相交于点C.2）在直尺一边上划上E、F两点，使EF=r,然后绕点C滑动直尺的位置，使直尺上E、F两点分别落在半圆和A0的延长线上，在此位置上作直线CEF.3）过0作OS〃CEF・则OS即为所求Z三等分角线.ZAOS=-ZAOB易于证明射线X确满足3,但这里的作图不符合作图公法。上述作法屮的第二步，不能归结为作图公法里规定的三种作图屮的任一种.实质上，这是使貞尺具有了刻度的功能，与尺规作图中的

9、肓尺无任何刻度不符.再介绍一种三等分任意角的方法，研究其是否符合尺规作图公法.作法二作一个角的平分线，这是一个尺规作图可能问题（见例1）.因而可用尺规把一个己知角四等分,八等分，十六等分,……,2“等分（n是正整数）.IzACW丄"0〃IzXOfi—^AOB现在，我们在2上减去4,再加上8，再减去"，再—ZXOJ-ZAOB加上32,循此进行下去，所得的角就越来越趋近3,如果继续作到无限多次，那么就能得到孑To这是因为，运用无究递降等比数列的求和公式，有Zaob・11111—+—2481632=Z