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《姚天任信号处理基础第一章答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1N维高斯分布随机矢量兀的均值矢量为口协方差矩阵为工八现对X作线性变换g二B1,其中〃是NxN阶常数矩阵，试证明孑是高斯分布的。证明：由题意有，I〜N(云,£.)其概率密度函数为:矢量均为列矢量。"G=（2计kFexp[—g（；-云厂工:（x-mx）]其中,X的联合特征函数为:—*—♦7'—♦1—Cv（69）=exp[j69-mx——co式中,X=（兀]x2mV0=（0
2、0）2COnYmx=（m（m2mN）T由随机矢量特征函数的性质有:C{co)=Cx(B•69)=exp[J(B•cd)r-mA•工j(B•co)]=exp[j7y7-(B7-mA)——
3、co(B7-于是，E〜N®•兄,If•工jB)也服从高斯分布。1.21和亍分别为N维和M维零均值随机变量，不相关，但却是联合高斯分布。试证明它们是相互独立的。证明：设匚和亍为列矢量,其协方差矩阵分别为：工八工”。设？是1和亍的联合矢量，记为:z=[xr：yT]rz的自协方差矩阵为:X工，=£[?•/]=E[「(J/)]uJEx^~x]0200E[)J]0z,_Z的概率密度函数即1和亍的联合概率密度函数：加)=p{fJyrY}=烏r•旳(一
4、；•S''G)sLELF2—♦=―1―J・exp{—3丁忆FLFk
5、=7Texp(-
6、xTY：；)JT®p(-*『•
7、工(2沪区』23列工彳2=p(x)p(y)所以，它们是独立的，证毕。1.3已知随机矢量1的均值云v,协方差为工，，估计值为Q估计误差2=1-左。试证明：若R严E[27]=min,则齐恳且R严工—证明：设兀的估计值:x=m.v+A.v,其中，入为常矢量。则估计误差:e=x-x=x-mx-^x所以，估计误差的自相关矩阵：R,=E[e^r]=E[(x-^-A.v)(x-^-A.v)7']=E[xx]-E[xmx]-E[x•Ax]-E[mx-x]+E[mx-mx](.T..卩專.丁..丁+E[mx•Ax]-E[A.Vx]+E[A.V•mx]+E[A.r•△订—*—
8、^T——T=Rx-fnxmx+A.t•Ax显然，当A.v.Ax=0时，R£=Rv-Anx/nI=min=^v,x=mx?证毕。1.7利用公式£“=儿-E[儿"二]•£[£-，由非正交基底y=[yy2儿r求正交基底£=[£]J£3]7o解：正交分量：6二儿一九旧=儿一引儿•£J•引几
9、•y：F•儿一1‘这里心3,则百二卜丁二儿y2=[yjy2]7,于是有：&=>15=儿一可力•X]•E®•y,]_,•y1=y2-心•X；-X£3=儿一母儿・（刃>2）]-£[•(X>2)r'•/r>l2RRJ-1■/RR1八21八22丿，丿二力一為尺32）/1.8已知
10、E=Ay,这里£=[£0£1£2£3f,丁=[儿丁1旳儿「人=o01角3，求y。和儿之间的部分相关系数及儿和儿之间的部分相关系数。解：设分别为旳,旳，儿上的单位方向矢量，由正交分解定理有y0=e0+E[y0-y]-E[y,y｛]-1-,由e=Ay得：*2=。22)1)+。21)‘】+丁2=如勺+如£[)'0•)'：]•£[)'】WK1•+。21)1+勺+E02•*]£[)$「•X因为5丄儿，有E[e2•/]=ai2E^y[I"1+Q21E®/]+£[y2/]=0代入上式得:£2=<722e0+d•*5丄｛儿，）'1｝，"（）W｛刃）'）】｝，故£（）丄即
11、:E[£2-^]=0・・・『2=E[e2・5]E[q•必r1=一如同理'y3=E[e3-e0]E[eQ-ej]_,=-a331.15用谱分解定理对有理功率谱S」z）二0.36(1—O・8zT)(1—O.8z)+1进行分解。解：由谱分解定理有:SO=^B⑵B(厂)=厂)(1一血)(1一0.8厂)(1一0&)2-0&-0.8厂(1—0&」)(1一0&)或(1-。厂-az+a2)(1—0.8厂)(1—0&)于是有:<7；(l+d2)=2Jo=().5b・—0・8'即［吩I®所以，Sx(z)=1.6(1-().5厂)(1-()・5z)(1_0・8zT)(1_0・8
12、z)，B(z)=1-0.5厂1—0&T，恥⑵耐)••Sy(z)—S^(z)+1=2.18-0・6宀0・6z(1—0・6f)(l—0.6z)1.16已知x(n)=0.6x(n-1)+(o(n-1),y(n)=x(h)+v(nd)(n)和v(n)分别是方差为0・82和1的;零均值白噪声,叩2)与兀(〃)不相关,求y(〃)的z域功率谱并按谱分解定理对其进行分解。解:S()=S()+S()=S()+1・.•x(n)=0.6x(〃-1)+co(n一1).•・x(n+1)-0.6x(//-1)=(o(n)(z-0・6)X(z)=Q(z)=>==L2(Z)z-0.60
13、.82<7；(1-OZ")(1-亦)(1—0.6厂)(1—0・6z
