三次参数样条曲线.ppt

《三次参数样条曲线.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三次参数样条曲线问题提出有空间的n个点,p1,p2,p3，……,pn要用一条曲线光滑连接p1p2p3pnp4解决问题的思路插值三次样条曲线三次参数样条曲线三次样条曲线-定义对于给定的n个型值点Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi>0,i=1,2,…,n，若y=S(x)满足下列条件：(1)在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)；(2)S(x)在[x1,xn]上二阶连续可导；(3)在每个子区间[xi,xi+1]上，S(x)是x的三次多项式；则称S(x)为过型值点的三次样条函数，由三次样条函数构成的曲线

2、称为三次样条曲线。三次样函数的形式推导由定义可知在[xi,xi+1]上，Si(x)可写成：Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3ai,bi,ci,di为待定系数(1)由于yi=Si(xi),Si(xi+1)=Si+1(xi+1)=yi+1，有yi=aiai+bihi+cihi2+dihi3=yi+1（用于求bi）(2)由Si'(x)=bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2有Si'(xi)=bi由Si"(x)=2ci+6di(x-xi)有Si"(xi)=2ci三次样

3、函数的形式推导(3)要求曲线在二阶连续可导，则有Si'(xi+1)=Si+1'(xi+1)Si"(xi+1)=Si+1"(xi+1)从而有bi+2cihi+3dihi2=bi+12ci+6dihi=2ci+1(求di)(4)令Mi=2ci;则有：ai=yici=Mi/2di=(Mi+1-Mi)/6hibi=(yi+1-yi)/hi-hi(Mi/3+Mi+1/6)三次样函数的形式推导从而有：ai-1=yi-1ci-1=Mi-1/2di-1=(Mi-Mi-1)/6hi-1bi-1=(yi-yi-1)/hi-1-

4、hi-1(Mi-1/3+Mi/6)(5)由Si-1'(xi)=Si'(xi)有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1hi-12=bi令：λi=hi-1/(hi-1+hi),μi=hi/(hi-1+hi)Di=6/(hi-1+hi)*[(yi+1-yi)/hi-(yi-yi-1)/hi-1]可得：λiMi-1+2Mi+μiMi+1=Di，其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1三次样函数的端点条件(1)夹持端：端点处一阶导数已知，即S1'(x1)=y1'亦即y1'=b1=(y2-y1)/h1-h1(M1

5、/3+M2/6)2M1+M2=6[(y2-y1)/h1-y1']/h1Sn-1'(xn)=yn'亦即yn-1'=bn-1=(yn-yn-1)/hn-1-hn-1(Mn-1/3+Mn/6)Mn-1+2Mn=6[yn'-(yn-yn-1)/hn-1]/hn-1得方程组为：2M1+M2=6[(y2-y1)/h1-y1']/h1;λiMi-1+2Mi+μiMi+1=Di，i=2,3,…,n-1;Mn-1+2Mn=6[yn'-(yn-yn-1)/hn-1]/hn-1;三次样函数的端点条件(2)自由端：端点处曲线二阶导

6、数为零即S1"(x1)=y1"=0,Sn-1"(xn)=yn"=0亦即S1"(x1)=2c1=0；=>M1=0Sn-1"(xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=>Mn=0得方程组：M1=0;λiMi-1+2Mi+μiMi+1=Di，i=2,3,…,n-1;Mn=0;三次样函数的端点条件(3)抛物端：曲线的首尾两段S1(x)和Sn-1(x)为抛物线。即曲线在首尾两段曲线上二阶导数为常数。y1"=y2"，yn-1"=yn"S1"(x1)=2c1=S2"(x2)=2c2=>M1=M2Sn-2"(xn-1)

7、=2cn-2+6dn-2hn-2=Sn-1"(xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=>Mn-1=Mn得方程组：M1-M2=0;λiMi-1+2Mi+μiMi+1=Di，i=2,3,…,n-1;Mn-1-Mn=0;三次样条曲线-程序程序演示三次参数样条曲线有空间的n个点,p1,p2,p3，……,pn要用一条三次参数样条曲线插值p1p2p3pnp4三次参数样条曲线定义三次参数样条曲线的表达式p(t)=B1+B2t+B3t2+B4t30<=t<=tm在两点p1,p2之间定义一条该曲线（参数形式）令p1t=0;

8、p2t=t2;已知：p’1，p’2代入方程可得方程系数B1B2B3B4p1p2三次参数样条曲线推导三次参数样条曲线推导连续的三次参数样条曲线连续的三次参数样条曲线式中：p’i第i点的切矢量为未知数，(i=1,…，n)求解n个未知数，要n个方程连续的三次参数样条曲线端点条件三次参数样条曲线端点条件三次参数样条曲线求三次参数样条曲线的表达式p(t)=B1+B2t+B3t2+B4t30<=t<=tm(1)给点p