三次B样条曲线备课讲稿.ppt

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1、三次B样条曲线数字图像处理1.1一般样条函数的定义给定一组平面上顶点(xi,yi)(i=0，1，…，n)，并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0

2、数。数字图像处理1.2三次样条函数假设在区间〔a，b〕上给定一个分割Δ：a=x0

3、的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如果满足下列条件：(1)在每个小区间内，S(x)是二次多项式函数，这里，称为半节点；(2)在半节点(i=1，2，…，n)处成立(3)满足插值条件数字图像处理2.B样条曲线以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同

4、时，克服了Bezier方法的弱点。2.1B样条曲线的定义给定m+n+1个平面或空间顶点Pi(i=0，1，…，m+n)，称n次参数曲线段：为第k段n次B样条曲线段(k=0，1，…，m)，这些曲线段的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。其中，基函数定义为：数字图像处理B样条曲线示例二次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例二次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例三次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例三次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲线示例四次B样条曲线示例数字图像处理B样条曲

5、线示例五次B样条曲线示例数字图像处理2.2B样条曲线基函数的性质B样条函数基函数为：具有如下性质：1）有界正性：当时，2）权性：即3）对称性：当时，4）递推性：数字图像处理B样条曲线的基函数一次B样条曲线的基函数二次B样条曲线的基函数数字图像处理B样条曲线的基函数三次B样条曲线的基函数四次B样条曲线的基函数数字图像处理2.3B样条曲线的性质1.局部性根据定义式可知，第k段n次B样条曲线只与n+1个顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对整条曲线(当m＞＞n)产生影响。这就为设计曲线时修改

6、某一局部的形状带来了很大的方便。如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。数字图像处理B样条曲线的性质2.几何不变性由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。3.连续性当给定的m+n+1个控制顶点Pi(i=0，1，…，m+n)互不相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续(Gn-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(Gn-h-1)。数字图像

7、处理B样条曲线的性质4.对称性根据B样条曲线的基函数的对称性可推导它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全相同。数字图像处理B样条曲线的性质5.递推性n次B样条曲线段的递推曲线表示形式：数字图像处理B样条曲线的性质6.保凸性B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时，Pk,n(t)是一条平面凸曲线。数字图像处理B样条曲线的性质7.凸包性当t∈〔0，1〕时，有0≤Gi,n(t)≤1(i=0，1，…，n)和，因此，根据凸包定义可知，对任何t∈〔0，1〕，Pk,n(t)必定在控制顶点构成的凸包之中。如

8、左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点