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时间:2020-03-20
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1、一、判断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。(√)2.可数集的交集必为可数集。(×)3.设P,Q∈Rn,则ρP,Q=0ÛP=Q。(×)4.设点P为点集E的内点,则P为E的聚点,反之P为E的聚点,则P为E的内点。(×)5.开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√)6.任意多个开集的并集仍为开集。(√)7.任意多个开集的交集仍为开集。(×)8.设AÍB,则m*A2、;的内部空集;[0,1]。2.设,,则[0,1];的内部空集;。3.设,,则;的内部;。4.设P是Cantor集,则为闭集;为完全集;没有内点;c;m*P=___0___。5.设为上的开集的构成区间,则满足,且,。三、证明题1.证明:。证明:因为,,所以,,,从而反之,对任意,即对任意,有为无限集,从而为无限集或为无限集至少有一个成立,即或,所以,,。综上所述,。2.设A2n-1=(0,1n),A2n=(0,n),n=1,2,…,求出集列{An}的上限集和下限集。解:;设,则存在N,使时,因此时,,即,所以属于下标比N大的3、一切偶数指标集,从而属于无限多,得,又显然,所以。若有,则存在N,使对任意,有,因此若时,,即,令,得,此不可能,所以。3.可数点集的外侧度为零。证明:设对则则4.证明:不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明:记是不可数集,是可数集,因为,且为无限集(因为,否则的话,是至多可数集,与是不可数集矛盾),为至多可数集(因为,是可数集,所以为至多可数集),所以,,即,所以,仍为不可数集
2、;的内部空集;[0,1]。2.设,,则[0,1];的内部空集;。3.设,,则;的内部;。4.设P是Cantor集,则为闭集;为完全集;没有内点;c;m*P=___0___。5.设为上的开集的构成区间,则满足,且,。三、证明题1.证明:。证明:因为,,所以,,,从而反之,对任意,即对任意,有为无限集,从而为无限集或为无限集至少有一个成立,即或,所以,,。综上所述,。2.设A2n-1=(0,1n),A2n=(0,n),n=1,2,…,求出集列{An}的上限集和下限集。解:;设,则存在N,使时,因此时,,即,所以属于下标比N大的
3、一切偶数指标集,从而属于无限多,得,又显然,所以。若有,则存在N,使对任意,有,因此若时,,即,令,得,此不可能,所以。3.可数点集的外侧度为零。证明:设对则则4.证明:不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明:记是不可数集,是可数集,因为,且为无限集(因为,否则的话,是至多可数集,与是不可数集矛盾),为至多可数集(因为,是可数集,所以为至多可数集),所以,,即,所以,仍为不可数集
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