高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆的综合问题教学案文北师大版.docx

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1、第2课时　直线与椭圆的综合问题(对应学生用书第156页)⊙考点1　直线与椭圆的位置关系　直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m＞1　　　B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5D　[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或椭圆上，从而≤1，又m＞0，则m≥1，因为椭圆＋＝1中，m≠5.所

2、以m的取值范围是m≥1且m≠5，故选D.]2．过点M(－4,4)作椭圆＋＝1的切线，切点N在第一象限，设椭圆的左焦点为F，则直线NF的斜率为________．　[设N(x，y)，直线MN的斜率为k.M(－4,4)，则直线MN的方程为y－4＝k(x＋4)，代入椭圆方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4，由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－，－，代入求得切点N，所以直线NF的斜率为kNF＝＝.]3．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不

3、重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

4、或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．　T2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x1＝x2＝－(其中a，b分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)．⊙考点2　直线与椭圆相交的弦长问题　弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、AB

6、＝＝(k为直线斜率)．(3)若直线的斜率不存在，可直接求交点坐标，再求弦长．　(2018·北京高考改编)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦

7、距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求

8、AB

9、的最大值．[解](1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，由题意知Δ＝36m2－16(3m2－3)＞0，即－2＜m＜2，此时x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

10、AB

11、＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，

12、AB

13、最大，最大值为.　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略Δ＞0.[教师备选例题]

14、　直线经过椭圆＋＝1的左焦点，倾斜角为60°，与椭圆交于A，B两点，则弦长

15、AB

16、＝________.　[由题意知直线方程为y＝(x＋2)，代入椭圆方程消元整理得5x2＋16x＝0，所以x＝0，或x＝－，所以交点A(0,2)，B，所以

17、AB

18、＝＝.]　1.已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且

19、AB

20、＝，则实数m的值为(　　)A．±1　　　B．±C.　　　D．±A　[由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.由题意知Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝

21、.由题意，得

22、AB

23、＝＝＝，解得m＝±1.]2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．[解](1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，由得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝，y2＝－.所以S＝c·

24、y1－y2

25、＝1×＝.⊙考点3　弦中点问题　处理中点弦问题常用的两种方法(1

26、)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，