高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆教学案理北师大版.docx

《高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5节椭圆第2课时直线与椭圆教学案理北师大版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　直线与椭圆考点1　直线与椭圆的位置关系　研究直线与椭圆位置关系的方法直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m＞1　　　　　B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，只

2、需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C

3、有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．　(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点2　弦长及中点弦问题　中点弦问题　处理

4、中点弦问题常用的求解方法　(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)A．4x＋3y－13＝0B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0D．3x－4y＋5＝0(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．(1)B　(2)＋＝1　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得①－②得＋＝0，又P(3,1)是AB的中点．

5、∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋4y－13＝0，故选B.(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，由消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知＝1，∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.∴所求椭圆方程为＋＝1.法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2

6、)，∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0)．设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②得＋＝0，即·＝－，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.]　“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM

7、＝－，即kAB＝－比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)．[教师备选例题]已知椭圆＋y2＝1.(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．[解]　(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：①－②得＝－＝－，所以－＝，化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝

8、－，因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.　1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)A．－B．－C．－D．－A　[由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0，①ax＋by＝0，②由①－②得a(x－x)＝－b