2021高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第2课时直线与椭圆教学案理新人教A版.docx

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1、第2课时　直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A.m>1B.m>0C.00且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，∴m≥1且m≠5.2.已知直线l：y＝2x＋

2、m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

3、只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.15这时直线l与椭圆C没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1　弦长问题例1　斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

4、AB

5、的最大值为(　　)A.2B.C.D.答案　C解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2

6、＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝＝＝·，当t＝0时，

11、AB

12、max＝.命题点2　中点弦问题例2　已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.答案　x＋2y－3＝0解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝

13、－.15经检验，k＝－满足题意.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.经检验，k＝－满足题意.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更

14、简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

15、AB

16、＝＝(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练1　(1)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当

17、CD

18、＝时，则直线l的方程为________.答案　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.解析　由题意得b＝1，c＝1.∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为＋x2＝1.15若直线l斜率不存在时，

19、CD

20、＝2，不符合题意.若l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，联

21、立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.Δ＝8(k2＋1)>0恒成立.设C(x1，y1)，D(x2，y2).∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.∴

22、CD

23、＝

24、x1－x2

25、＝＝.即＝，解得k2＝2，∴k＝±.∴直线l方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.(2)(2019·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M ，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2).∵AB的中点为M ，∴x1＋x2＝2