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时间:2020-03-09
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1、2013年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题:(每题5分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x∈R
2、
3、x
4、≤2},B={x∈R
5、x≤1},则A∩B=( )A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2]D.[﹣2,1]2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A.﹣7B.﹣4C.1D.23.(5分)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为( )A.64B.73C.512D.5854.(5分)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则
6、其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;第24页(共24页)③直线x+y+1=0与圆相切.其中真命题的序号是( )A.①②③B.①②C.①③D.②③5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=( )A.1B.C.2D.36.(5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( )A.B.C.D.7.(5分)函数f(x)=2x
7、log0.5x
8、﹣1的零点个数为( )A.1B.2C.
9、3D.48.(5分)已知函数f(x)=x(1+a
10、x
11、).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A,若,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D. 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .10.(5分)的二项展开式中的常数项为 .11.(5分)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为,则
12、CP
13、= .12.(5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为 .13.(5分)如图,△ABC
14、为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥第24页(共24页)AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为 .14.(5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,取得最小值. 三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=﹣sin(2x+)+6sinxcosx﹣2cos2x+1,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.16.(13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为
15、1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.第
16、24页(共24页)18.(13分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若=8,求k的值.19.(14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn=Sn﹣(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.20.(14分)已知函数f(x)=x2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
17、(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有. 第24页(共24页)2013年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一.选择题:(每题5分,共40分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x∈R
18、
19、x
20、≤2},B={x∈R
21、x≤1},则A∩B=( )A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.[﹣2,2]D.[﹣2,1]【分析】先化简集合A,解绝对值不等式可求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩B即可.【解答】解:∵A={x
22、
23、x
24、≤
25、2}={x
26、﹣2≤x≤2
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