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1、等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式和前n项和公式3．等差中项A是x和y的等差中项A＝.4.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．4．等差数列的常用性质（1）当时,则有，特别地，当时，则有.注：。（2）若、为等差数列，则都为等差数列。（3）
2、在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,…,为等差数列，公差为md。（4）是公差为d的等差数列，是前n项和，那么数列,…成公差为k2d的等差数列。（5）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1）当项数为偶数时，，2）当项数为奇数2n-1，则第7页共7页（6）等差数列前n项和为Sn,Tn，则5、与之间的关系6．等差数列的前n项和公式和最值问题（1）等差数列前n项和公式与二次函数的关系（2）的最值求法L大例题与练习考点1:等差数列的基本计算题型1：已知等差数列的某
3、些项，求某项【例1】已知为等差数列，，则24练习：1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( B )A．765B．665C．763D．6632．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( C )A．26B．29C．39D．523．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.4．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．第7页共7页解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则a
4、n＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.第7页共7页题型3：求等差数列的前n项和【例3】已知为等差数列的前项和，.（1）；⑵求；⑶求.解：由，得，当时，；当时，.（1）；⑵；（3）时，，当时，练习：1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N
5、*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝
6、a1
7、＋
8、a2
9、＋…＋
10、an
11、，求Sn.第7页共7页解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.第7页共7页∴当n>5时，Sn＝
12、a1
13、＋
14、a2
15、＋…＋
16、an
17、＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn
18、－S5)＝2S5－Sn＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝
19、a1
20、＋
21、a2
22、＋…＋
23、an
24、＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.∴Sn＝第7页共7页2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于（）A．22B．21C．19D．18.考点2：等差中项的应用例1、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11
25、,8,5,2.考点3：等差数列的前n项和最值例1．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．第7页共7页解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得可解得所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．第7页共7页练习：1．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.(1)求数列{an}的通项公式an；(
26、2)求Sn的最小值及对应的n值．第7页共7页解 (1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－32.∴an＝4n－32，n∈N＋.(2)∵an＝4n－32，∴a1
