等差、等比数列的判断和证明.doc

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1、等差、等比数列的判断和证明一、1、等差数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即.(或).2、等差数列的判断方法：①定义法：为等差数列。②中项法：等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。为等差数列。③通项公式法：等差数列的通项：或。公式变形为:.其中a=d,b=－d.（a,b为常数）为等差数列。④前n项和公式法：等差数列的前和：，。公式变形为Sn=An2+Bn其中A=，B=.（A,B为常数）为等差数列。3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，

2、且斜率为公差；前项和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当时,则有，特别地，当时，则有(4)①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差，公差为md；②若是等差数列，则﹛kan+p﹜(、是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若、是等差数列，则(、是非零常数)为等差数列，公差为kd1+pd2（d1、d2分别为、的公差）④也成等差数列.⑤成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；

3、；.当项数为奇数时，；；（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg：a1，a3，a5…构成等差数列，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即2、等比数列的判断方法：①定义法：，其中为等比数列。②中项法：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。an2=an-12an+12（nN*，n2）为等比数列。③通

4、项公式法：等比数列的通项：或an=Aqn为等差数列。④前n项和法：等比数列的前和：当时，；当时，=Aqn-ASn=Aqn-A为等差数列。特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。3、等比数列的性质：﹛an﹜是公比为q的等比数列（1）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当时，则有，特别地，当时，则有.(2)单调性：若，或则为递增数列；若,或则为递减数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.（3）①﹛an

5、﹜(不等于0)公比=q；若﹛bn﹜公比为q1则②﹛anbn﹜公比为qq1③﹛1/an﹜公比为1/q④﹛﹜公比为（4）在数列中，每隔k项（kN*）取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，公比为qk+1（5）在数列中，相邻k项的和或积构成公比为qk或qk2的等比数列方法1：定义法Eg：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：为等差数列；(2)求an的表达式．解析：(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.∵Sn≠0，∴

6、－＝2(n≥2)．由等差数列的定义，可知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；当n＝1，a1＝，不满足上式，故an＝方法2：等差、等比中项法Eg：已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p解析：=，即，整理得，，解得p=2或p=3．