成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和详细解析.doc

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1、2015年成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析一、选择题(6×10=60分)1.已知等腰△ABC的面积为1,∠A=120,则△ABC内切圆的面积为()A.B.C.D.解:过A作底边的垂线,垂足为D,连接圆心O与AB边的切点E,连接BO设圆半径为rRt△ABD中,∠B=30°,S△2ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.D=1/2,∴AD=/在Rt△AEO中,∠EAO=60°,∴sin60°=EO/AO=/2,即r/(AD-r)=/2,∴r=o/Ca2C

2、h∴S○O=πr===hπah6×此题四个选项都不正确。2.如图所示,两条对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°可围成一个四角形(各边用实线标注),则该四角形的周长是____。解:作如图所示的辅助线(红色)∵对角线长为2倍关系,∴E、F分别为AD、BD的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=AB/2,△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2222222在Rt△ADF中,(AC+CF)=AD+DF,即(AC+AC/2)=2+16解得AC=,∴周长=8AC=a.已知x=a

3、,=aa解:∵x=a∴=xa∴aa=a=a=Caa=aa=a=∴原式==4、某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的最长棱长为A.5B.22C.23D.4此题看不清原图,加之本人也未能完全参透,故未做。225.设x,y为实数,则代数式2x+4xy+5y-4x+2y-5的最小值是____222222解:原式=2x+4xy+5y-4x+2y-5=x+4xy+4y+x-4x+y+2y-5222222=(x+2y)+x-4x

4、+4+y+2y+1-5-4-1=(x+2y)+(x-2)+(y+1)-10,恰好有解x=2,y=-1使得前三项都取得最小值0,故最小值为-106、已知x≤y≤z≤w≤6,则方程x+y+z+w=18的正整数解的个数为A.5B.6C.7D.8分析:设那4个数都相等,则它们=4.5,∵w最大,∴w≥4.5,∴w的值只能是5或6。解:w=6z=6y=5,4,3x=1,2,3z=5y=5,4x=3,4z=4y=4x=4w=5z=5y=5,4x=3,4∴有8组解满足条件。7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数,把1分拆成若干

5、个不同的单位分数之1111111111111和。如:1=,其中mn。2612mn3042567290110132156xy2设1xm,1yn,则的最小值为x1235834A.B.C.D.2273分析:注意观察1/2=1/(1×2)=1/1-1/2,1/6=1/(2×3)=1/2-1/3,1/12=1/(3×4)=1/3-1/4…∴1=1-1/4+1/m+1/n+1/5-1/13,化简得1/m+1/n=1/13+1/20,∵m≤n,且都为正整数,∴m=13,n=20(x+y+2)/(

6、x+1)=1+(y+1)/(x+1),当最小(y≥1)即y=1时,x最大(x≤m)即x=13时,(x+y+2)/(x+1)取得最小值,即为1+(1+1)/(1+13)=8/78.若一个两位数的平方后的数的后两位恰好是这个两位数,这样的两位数有___个。2解:设该数为10x+y,且x,y,a,b,c均为0-9的整数,∴(10x+y)=1000a+100b+10x+y,22化简得100x+20xy+y=1000a+100b+10x+y①0-9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0,1,5,6.但明显0不符合本题的要求

7、,故只需考虑y=1,5,6的情况,且x≠02当y=1时,整理①得:10x+x=10(10a+b),∴等式右边的个位数是0,而左边的个位数是x,但已知x≠0,∴y=1时,没有这样的两位数;2当y=5时,整理①得:100(x+x)+25=1000a+100b+10x+5,∴等式左边十位数和个位数为25,即25=10x+5,∴y=5时,x=2,即这个两位数为:252当y=6时,整理①得:10x+11x+3=10(10a+b),∴等式右边的个位数为0,即要求11x+3的个位数也是0,∴x=7,即y=6时,x=7,即这个两位数为:

8、76∴只有2个这样的两位数,它们是25和76229、设p、q为不相等的正整数,且关于x的方程x-px+q=0和x-qx+p=0的根都是正整数,则

9、p-q

10、=分析:设两个方程的解分别为x1,x2,x3,x4,且它们都为正整数设p>q,则有x1+x2>x1*x2,容易知道只有x1,x2中必有一个数为1不等式才能成立,∴p

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