计量经济学 教学课件 作者 林清泉 著 课后习题 第二章.doc

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1、第二章矩阵代数第一部分学习目的和要求矩阵代在计量经济学中占有重要的地位，学习本章主要掌握以下几个方面的内容：1．矩阵加法，乘法的规则。2．逆矩阵的求法3．矩阵对应的行列式计算方法4．数列中逆序的概念5．向量组的线性相关和线性无关6．齐次线性方程组解的结构7．线性方程组有解的充分必要条件8．矩阵的秩9．最小二乘解的概念和几何意义10．二次型的定义，正定、负定、不定的二次型11．正交变换12．特征根、特征向量13．二次型变换成对角型的方法第二部分练习题一选择题⒈下列结论成立的是（　）.A.如果A2=O，

2、则A=O　B.如果如果矩阵A2=A并且A不是单位矩阵，那么A不可逆。C.如果A2=A，则A=E或A=O　　　　　　D.如果矩阵A2=O，则E+A不可逆2．下列说法正确的是（）.　A.零矩阵一定是方阵　　B.可转置的矩阵一定是方阵　C.可逆矩阵一定是方阵　　D.若与可进行乘法运算，则一定是方阵3．下列说法正确的是（　）A.用对角线法则可以计算n阶行列式B.对行列式的行成立的性质，对列也成立C.只有同阶行列式之间可以进行运算D.只有行和列数都相同时,两个矩阵才能进行乘法运算4．下列结论正确的是（　）．　

3、A.对角矩阵是数量矩阵　　B.数量矩阵是对称矩阵　C.可逆矩阵是单位矩阵　　　　　D.对称矩阵是可逆矩阵5．设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）　A.　B.　C.　D.96．设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（　）．　A.　B.C.D.若AB=E，则必有A=E或B=E7．设，，是单位矩阵，则＝（）．A.B.C.D.8．设A为n阶矩阵,考虑以下命题:1)A与有相同的特征值与特征向量;2)若A~B,则A,B有相同的特征值与特征向量;3)若A,B有相同的特征值,则A,B一定相似于同一个对角矩阵;4)

4、若A,B有相同的特征值,则r(A)=r(B).成立的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.0个9．设A为阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；②Ax=b有唯一解；③A的行向量组线性无关；④A的列向量组线性无关.则有（）A.①②④.B.②①④.C.④①③.D.③②①.10．矩阵的秩是（）A.1B.2C.3D.411．二次型是（）A.正定B.负定C.半负定D.不定二填空题1．已知则=____，=____，=____，=____.2．若矩阵A=，B=，AX=B，YA=B，则X=______，Y=___

5、___.3．设A=，A的伴随矩阵A*的秩为1，且，则Ax=0的通解为_____________.94．已知-2是的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则x=.5．设，以A为矩阵的二次型为_____________.6．设，矩阵A的特征值为___________，特征向量为___________.三计算题1．设矩阵满足矩阵方程，其中，，求.2．设向量组，（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.3．已知A为

6、三阶矩阵，为Ax=0的基础解系，又AB=2B，B为三阶非零矩阵.(1)计算行列式；(2)求秩r(A-2E)；(3)求矩阵2A+3E的特征值.4．设矩阵，，计算(BA)-1．5．解下列线性方程组6．求下列矛盾方程组的最小二乘解。97．设二次型，写出它的矩阵及矩阵表达式。8．求二次型的正交矩阵第三部分参考答案一选择题1．B2．C3．B4．B5．B6．A7．D8．D9．BAx=b有唯一解，知，于是Ax=0只有零解，进而可推知A的列向量组线性无关，故应选B10．C将矩阵化成阶梯形矩阵后，有3个非0行，故该矩

7、阵的秩为3．11．C可写成，当时，，因此，半负定，其对应的矩阵是半负定矩阵。二填空题1．[解]由所以，，，，.92．[解]X=；Y=3．[解]由题设，秩r(A)=n-1,于是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为n-r(A)=1,而表明Ax=0有解，故Ax=0的通解为.4．[解]由题设，有，知x=-4.5．[解]6．[解]第一步：求A的特征值因为所以A的特征值为（二重根）第二步：求A的特征向量对于对应的齐次线性方程组为它的基础解系为v1，故是A的对应于的全部特征向量。对于对应的齐次线性方程组为它的基础

8、解系为v2v3=故不全为零）是A的对应于的全部特征向量。9三计算题1．[解]思路：若可逆，则.先求.因为所以..2．[解]（1）当时，向量组线性无关，此时设，解得（2）当p=2时，向量组线性相关，此时向量组的秩为3，为其一个极大线性无关组.3．[解]由题设，是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量，又由AB=2B,B为三阶非零矩阵，不妨设B的第一列非零，则是A的属于特征值2的特征向量，于是令，则有(1)A+E~,于是=3.9(1)A-2E~(3)矩阵2A+3E的特征