非数学类高等数学竞赛试题.doc

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1、非数学专业类试题（复试）（每题20分，共100分）一、若非负函数在区间上的任一子区间不恒为零，而在闭区间上处处有．证明：方程在内至多只有一个实根．二、设有椭圆抛物面和平面．（1）试给出和相交的充要条件．（2）当与相交时，求它们所围成空间形体的体积和被截下部分的面积．三、证明：（1）；（2）．四、设是实阶矩阵，为的个特征值，记，对任意维实向量，定义．证明：对任意维实向量有．五、设有编号为的大小与形状相同的球随机地放入编号为的盒子中，每个盒子恰好能装一个球．如果编号为的球恰好放入了与编号为的盒子中，则称

2、一个配对．．用表示总的配对数．（1）求的数学期望与方差；（2）求的分布；（3）记为至少有一个配对的概率，求．注意：请在答卷上写明考生所在单位、学号和姓名．参考解答一、证若方程在内有两个根，且．由于在上存在，所以在上可导，又，由罗尔定理，必存在，使．又因为在上不恒为零，且，故存在，使．由拉格朗日中值定理，有，从而．因此，这与的假设矛盾，故方程在内至多只有一个根．二、解（1）与相交，当且仅当方程有无穷多个解．将第一个方程代入第二个方程，整理得，该方程有无穷多组解，当且仅当，或，此即为与相交的充要条件．（

3、2）由（1）知在平面上的投影区域为，其中．所求的体积为．作坐标变换，于是．被截下部分的面积为．三、证（1）由，．令得．（2）于是．四、证由于是实对称的，故有正交矩阵使得，设是任一维向量，记，则有，，．五、（1）；；（2）；（3），则．