周期数列详解.doc

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1、周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(modm),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(modm)}。若模数列{An(modm)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列是无

2、穷数列，其值域是有限集；2、如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。3、若数列满足（，且），则6是数列的一个周期。4、已知数列满足（，且为常数），分别为的前项的和，若（，），则，。特别地：数列的周期为6，（即：）则5、若数列满足，则数列是周期数列；若数列满足，则数列是周期数列。若数列满足，则数列是周期数列。特别地：数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=3数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=36、若数列满足a+d=0,则数列是周期T=2；例：数列满足则数列是周期T=2；；三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公

3、式（1）数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式解析：原数列可构造成：，，，，，，……，它的通项公式可以写成：(n∈N)，或者写成：(n∈N)，又或者写成：(n∈N)，总结：一般的数列a，b，a，b，a，b，……它的通项公式可以写成：(n∈N)（2），0，1，，0，1，……的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数进行改造，使它们能发生联系。事实上，当x分别为，0，，，，，……时，的值分别为，0，，，0，，……这样，0，1，，0，1，……的通项公式可以写成：所以，原数列的通项公式为(n∈N)（3）数列：1，2，3，4，1，2，3，4，…

4、…的通项公式解析：将原数列扩大2倍：2，4，6，8，2，4，6，8，……再减去平均数5得到：，，1，3，，，1，3，……分解成两个数列：(1)，1，，1，，1，，1，……(2)，，2，2，，，2，2，……(1)的通项公式为易得，(2)的通项只要求出，，，，，，，，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：(n∈N)，∴，，2，2，，，2，2，……的通项为：(n∈N)，∴，，1，3，，，1，3，……的通项为：(n∈N)，则原数列的通项为：(n∈N)。（4）：1，1，1，1，2，2，2，2，3，

5、3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式乘以(－4)得：，，，，，，，，，，，，……，加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……，它的通项公式为：又化简整理得：(n∈N)。2、求数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列中，且对于大于的正整数，总有，则等于（）．A．-5B．-2C．2D．3．解析：由性质（2）知，数列是以6为周期的周期数列，而，再由性质（3）可得，故选A．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列满足（为实数），()，求．解：()可变形为．我们发现与三角式十分相似，因此可把此三角式认为是

6、原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取=，．显然此数列的周期是6．而，再由性质（3），得．3、求周期数列的前项和例5、设数列中，，且对，有=（）成立，试求该数列前100项和．解：由已知条件，对任何自然数，有=，把式中的换成，得=．两式相减得，．因为，所以．所以是以4为周期的周期数列，而，再由性质（3），得．例6（上海08质检题）、若数列满足，为的前项和，且，，求．解析：由及性质（2），可知所以数列是以6为周期的周期数列．由，，知，，再结合，可求得，，；由递推关系式可进一步求得，，．因为，由性质（3），得．4、求周期数列的极限例7、（06北京）在数

7、列中，，是正整数，且，，则称为“绝对差数列”．若“绝对差数列”中，，，数列满足，，分别判断当时，数列和的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列中，．所以自第20项开始，该数列是，，，，，，，…．即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当时，的极限不存在．当时，，所以．