机械制图 第3版 教学课件 作者 杨老记 投影变换.doc

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1、投影变换当直线或平面与投影面处于特殊位置时，在投影图上可以直接反映出直线或平面的某些真实情况（如实长、实形或倾角等），而一般位置直线或平面，则没有这种投影特性。如果能把原来对投影面处于一般位置的直线或平面，转换为特殊位置的直线或平面，则有关一般位置直线或平面的相关问题就可顺利解决。设置辅助投影面（简称换面法）是方法之一。换面法就是保持空间几何元素的位置不动，设置新的辅助投影面替换原有的投影面，使空间几何元素在新投影面中处于特殊位置。2.5.1点的换面1.点的一次换面（1）变换V面在图2-51a中，V面和H面

2、组成一个两投影面体系（简记为V/H体系）。设置与H面垂直的新辅助投影面V1，则V1与H面便组成一个新的两投影面V1/H体系。由空间点A向V1面引垂线，垂足av1即为A点在V1面上的投影。由av1向X1轴引垂线，交X1轴于ax1，则av1ax1=Aa=a’ax。分别绕X轴和X1轴将两投影面体系都展开到与H面重合后，得到投影图如图2-51b。在图2-51b中，A点的投影有如下特性：1）A点在V1/H体系中的两投影av1和a的连线垂直于新轴X1轴，即av1a⊥X1轴。2）新投影av1到新轴的距离av1ax1和旧投

3、影a’到旧轴的距离a’ax均等于A点到H面的距离，因此，av1ax1=a’ax=Aa。（2）变换H面在图2-52a中，设置与V面垂直的新辅助投影面H1面，构成新V/H1体系，B点在H1面上的新投影为bh1。分别绕X轴和X1轴将两投影面体系都展开到与V面重合，所得投影图为图2-52b，从中可得出B点的投影特性：b’bh1⊥X1轴；bh1bx1=bbx=Bb’。a)在空间换V面（立体图）b)在投影图中换V面图2-51点的一次换面（变换V面）a)在空间换H面（立体图）b)在投影图中换H面图2-52点的一次换面5总

4、结上述讨论：无论变换V面还是变换H面，换面法中点的新、旧投影间有如下规律：l）新投影与不变的旧投影的连线垂直于新轴。2）新投影到新轴的距离等于被变换的旧投影到旧轴的距离。以上规律非常重要，是用换面法求解一般位置直线或平面相关问题的基础。根据该规律，还可对空间几何元素进行两次或多次换面。2.点的两次或多次换面图2-53表示点变换两次投影面的情况。首先将A点从V/H体系中变换成V1/H体系中的av1，其作图方法与图2-51相同。然后再设置垂直于V1面的投影面H1，得到V1/H1体系，点A在H1面上的投影为ah1

5、。当将H1面绕X2轴旋转到与V1面重合时（如图2-53b），可得av1ah1⊥X2轴，ah1ax2=aax1。可见，换面法中新、旧投影间的投影规律仍然适用。a)在空间换二次面（立体图）b)在投影图中二次换面图2-53点的二次换面变换两次或多次投影面是在一次变换的基础上进行的，变换时，原来的V、H两投影面必须交替被新投影面所替换，而每变换一次投影面总是以上一次的两投影面体系为起点，再继续变换。2.5.2直线的变换1.把一般位置直线变为新投影面的平行线如图2-54a所示，在V/H投影面体系中，一般位置直线AB的

6、投影为ab和a’b’。设置新投影面V1，使V1面与AB平行且垂直于H面，构成新V1/H体系。在V1/H体系中，新投影轴X1轴平行ab，AB在V1面上的投影为av1bv1，av1ax1=a’ax，bv1bx1=b’bx。由于V1面与直线AB平行，av1bv1反映AB的实长和直线AB对H面的倾角a。可见，通过换面可求一般位置直线的实长和对投影面的倾角。在投影图中把一般位置直线变为新投影面的平行线的作图步骤为：作新投影轴X1平行于ab，过a和b点分别作X1轴的垂线，根据投影变换规律求出av1和bv1并连线，如图2

7、-54b。av1bv1即反映直线AB的实长。若求AB对H面的倾角，则从av1或bv1引一条与X1轴平行的直线，则直线与av1bv1的夹角即为直线AB对H面的倾角，如图2-54b。5a)在空间换V面（立体图）b)在投影图中换V面图2-54一般位置直线变为投影面平行线（换V面）可用相同的方法变换H面，求出一般位置的直线AB与V面的夹角b和实长，如图2-55。图2-55一般位置直线变为投影面平行线（换H面）2．把投影面平行线变为新投影面的垂直线如图2-56a，在V/H投影面体系中，正平线AB的投影为ab和a’b’

8、。设置新投影面H1面与AB垂直并垂直于V面，构成新V/H1体系。新投影轴X1垂直于a’b’，AB在H1面上的新投影积聚成一点ah1（bh1）。在投影图中把投影面平行线变为新投影面的垂直线的作图步骤为：作新投影轴X1垂直于a’b’，在a’b’的延长线上作出重合在一起的两投影ah1（bh1），使ah1ax1=aax，如图2-56b。a)在空间换H面（立体图）b)在投影图中换H面图2-56把投影面平行线变为新投影面的垂