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1、费尔巴赫定理费尔巴赫定理 三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。费尔巴赫定理的证明在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c.易得∠HAO=
2、B-C
3、,∠HAI=∠OAI=
4、B-C
5、/2;AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)b
6、c/s],AIa=√[sbc/(s-a)]在△AHI中，由余弦定理可求得:HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;在△AHO中，由余弦定理可求得:HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;在△AIO中，由余弦定理可求得:OI^2=R(R-2r).∵九点圆心在线段HO的中点,∴在△HIO中，由中线公式可求得.4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R-2r)^2故IQ=(R-2r)/2.又△ABC的九点圆半径为R/2,所以九点圆与内
7、切圆的圆心距为d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此三角形的九点圆与内切圆内切。在△AHIa中，由余弦定理可求得:IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;在△AOIa中，由余弦定理可求得:IaO^2=R(R+2ra).在△HIaO中，由中线公式可求得.4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2故IaQ=(R+2ra)/2.九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为d=R/2+ra=(R+2ra)/2
8、=IaQ.故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。因此三角形的九点圆与旁切圆外切托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理的提出 一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中
9、摘出。证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD 因为△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD(2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定
10、理”） 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四
11、边形。在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；因此AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两
12、条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=A
