高代课件，重点习题及相关答案 1第一章一元多项式习题及解答.doc

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1、习题一A组1.判别是否为数域？解是．2.设，，求，，．解，，．3．设，求的展开式中各项系数的和．解由于的各项系数的和等于，所以．4.求除以的商与余式．(1)；(2)．解(1)用多项式除法得到所以，．(2)用多项式除法得到15所以，．5．设是两个不相等的常数，证明多项式除以所得余式为．证明依题意可设，则解得故所得余式为．6.问适合什么条件时，能被整除？(1)，；(2)，．解(1)由整除的定义知，要求余式．所以先做多项式除法，要求，所以．即时，可以整除．(2)方法同上．先做多项式除法，所得余式为15，所以，即或时，可以整除．7.求与的最大公

2、因式:(1)；(2)；(3)．解(1)用辗转相除法得到用等式写出来，就是，，，所以．(2)同样地，15所以.(3)同样用辗转相除法，可得．8.求使：(1)：(2)：(3)．解(1)利用辗转相除法，可以得到，，．因而，，并且所以15(2)利用辗转相除法，可以得到，，．因而，，并且所以．(3)利用辗转相除法，可以得到，．因而，并且所以．9.设的最大公因式是一个二次多项式，求的值．解利用辗转相除法，可以得到，由题意，与的最大公因式是一个二次多项式，所以15解得．10.设，求和．解用去除，得余式，由题意要求知，即解得．11.证明：如果，，那么．

3、证明由条件可知，存在和使得，存在和使得．用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以．12.证明：如果与不全为零，且，那么．15证明由于，与不全为零，所以．两边同时除以，有，所以．13.证明：如果，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式．证明由题意知是与的公因式．再由条件设．又设为与的任一公因式，即，则由上式有．故而是与的一个最大公因式．14.证明：，其中的首项系数为1．证明显然是与的一个公因式．下面来证明它是最大公因式．设满足，则．由上题结果知，是与的一个最大公因式，又首项系数为1，所以．15.设多项式与不全为零，证明．证明设，则存在多

4、项式，使．因为与不全为零，所以．上式两边同时除以，有，故成立．1516．分别在复数域、实数域和有理数域上分解为不可约因式之积．解在实数域上的分解式为．在复数域上的分解式为．在有理数域上是不可约多项式．否则，若可约，有以下两种可能．（1）有一次因式，从而它有有理根，但，所以无有理根．（2）无一次因式，设，其中为整数．于是，，，，又分两种情况：①，又，从而由，得，矛盾；②，则，矛盾．综合以上情况，即证．17.求下列多项式的有理根：(1)；(2)；(3)．解(1)由于是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为的因数．的因数有：，

5、计算得到：故是的有理根．再由多项式除法可知，是的单根．(2)类似（1）的讨论可知，的可能的有理根为：，计算得到，故是的有理根．再由多项式除法可知，是的2重根．(3)类似地，的可能的有理根为：，计算得到15．故，是的有理根．再由多项式除法可知，是的4重根，是的单根．18．若实系数方程有一根（为实数，），则方程有实根．证明设原方程有三个根．不失一般性，令，从而有，由根与系数的关系可知，所以，即，故．这说明有实根．19.证明：如果，那么．证明因为，所以．因此，令，则有，即．20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)；(2)；(3)；(4)，

6、p为奇素数；(5)，k为整数．解（1）的可能的有理根为：，而，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein判别法，取素数，则不能整除1，而，但是不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令，代入有．取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．15(4)令，代入，得，取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．(5)令，代入，得，取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约．15B组1．设，，是实数域上的

7、多项式，(1)若，则．(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1）当时，有，所以，命题成立．如果，不全为零，不妨设．当时，为奇数；当时，因为，都是实系数多项式，所以与都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有为奇数．而这时均有，且为偶数，矛盾．因此有，从而有．(2)在复数域上，上述命题不成立．例如，设，，，其中为自然数，有，但，．2.设，满足,．证明.证明两式相加得到.由可知.两式相减得到.故，即.3．设，证明(1)若，，则；(2)若，是否有?解(1)因为，，故存在多项式，使得15．于是．由于，故有，即．(2)否．例如取，，，．虽然且

8、，但不能整除．4．当为何值时，和的最大公因式是一次的？并求出此时的最大公因式．解显然．当时，，则．当时，，则．这时．5．证明：对于任意正整数，都有．证明由题意可知与不全为零．令，则，从而，所以对任意正整数，