用matlab实现contor三分集.doc

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1、用matlab画cantor三分集摘要:本文介绍了分形几何中的cantor三分集，并且给出了MATLAB程序以及运行结果，分形作为双曲迭代函数系统的吸引子。根据程序中的迭代将分形模拟确为迭代法。关键词：分形几何、cantor三分集、程序、分法细密一、简介分形是指没有特征长度（特征长度是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者）；但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。典型的分形集一般具有如下几个特征：无论用什么尺度衡量，其复杂性不消失，即具有无穷精细的结构；分型是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述；部分与整体是相似的，即具有自相似性；可以通过递归、迭代等简单

2、的方式产生；其分维数大于拓扑维数，分形的特点也可以概括为两点，就是自相似性和无限细分。分型体系的局部与整体是相似的。任何一个分形，都具有无穷多个分形元，对整体的无限细分，所形成的无数分形元，构成了分形图形的整体。通常分形都是极度对称的，对称到了完美的地步。但生成这种图形却不需要非常复杂的程序。因为他们具有无限的细节表面，就可以使用递归算法来实现。Cantor三分集是分形里面的一个小分支，根据迭代的次数不同，可以画出不同的分法细密度。二、算法Cantor三分集的构造如下图所示，一条线段ab被均分为三段，保留其两边的两段，中间一段去掉，然后把得到的每一段再继续进行划分，如此

3、反复。根据它生成的原理，可以设计算法如下：Cantor三分集的绘制十分简单，是一种最简单的分形实例，它的算法如下：cx=ax+(bx–ax)/3cy=ay–hdx=bx–(bx–ax)/3dy=by–hay=ay–hby=by–h其中h为两层之间的距离。如此循环下去，画出每个阶段的图形就可以得到cantot三分行的图形。因为cantor集的生成是无穷的的，在这里我能就规定当线段的距离小于规定的数时，循环就停止。在这里以C表示。三、程序程序清单为：functionf=cantor(ax,ay,bx,by)%定义一个函数cantorc=0.005;d=0.005;%C为画出

4、的最小的的线段的最小长度，d为两条线段之间的距离。if(bx-ax)>c%如果线段的长度大于C，就继续画曲线。x=[ax,bx];y=[ay,by];holdon;%画图的范围plot(x,y,'LineWidth',2);holdoff;%用X,Y画直线,刷新图形界面cx=ax+(bx-ax)/3;%坐标变换关系cy=ay-d;%坐标变换关系dx=bx-(bx-ax)/3;%坐标变换关系dy=by-d;%坐标变换关系ay=ay-d;%坐标变换关系by=by-d;%坐标变换关系cantor(ax,ay,cx,cy);%再次调用cantor函数cantor(dx,dy,b

5、x,by);%再次调用cantor函数end四、结果及分析给定初始坐标：ax=0,ay=5.bx=5,by=5程序的运行结果为：程序的运行结果不仅与ax，ay，bx，by的取值有关，而且与程序中c和d的取值有关，因此，不同取值会画出不同分法细密度的Cantor三分集五、总结使用MATLAB可以编制简练，灵活的分形模拟程序。通过调节每个程序第一行中常数，可以获得不同外观形状的图形。程序中均有一个控精度的量（循环次数），取值越大，模拟精度越高。只要机器运算速度允许，模拟图与对应分形之间可任意接近。程序均用到了循环语句进行抚今迭代，绘图数据收集在一个两行的矩阵中，绘图命令用到

6、了plot函数。在确定迭代法中，迭代出的点的总数随循环次数以指数速度增长，故循环次数以选取较小时就得到了理想的图形。在随机迭代法中，一次循环只增加一个数据点，故循环次数要取的较大。MATLAB提供了一系列求解数学问题的命令和绘图命令。利用数学命令可以求解函数的导数、积分等等。利用绘图命令可以绘出各式各样的二维图形、三维图形。MATLAB可以进行编程运算，对一些复杂问题的计算或复杂图形的绘制，可以编程实现。因此MATLBA的功能是很强大的。