剪力图和弯矩图1(基础).doc

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1、剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图山以上分析可知，一•般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为兀轴,以坐标X表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为X的函数，EP9上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程°为了清楚地农明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线衣示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。例8-3图8-12（a）所示的简支梁为齿轮传动轴的计算简图，

2、试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解（1）计算梁的支反力取整个梁人〃为研究対象。山平衡条件：工M"）=0和工M"）=0,得口FbrFaFa=—Fb=~TXMniMiLLfJHIi（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁的左端A为坐标原点,选取坐标系如图8-12（a）所示。集中力尸作用于C点，梁在AC和CB两段内的剪力和弯矩不能用同一方程來农示，应分段考虑。设务段任意截而的剪力和弯矩均以截面之左的外力表示，则得图8-12(a)AC段(1)M(x)=Fax=—x(2)BC段Fq(x)=Fa-F=-^a

3、兀)=Fa兀一F(兀一a)=(于-F)x+Fa=-^~(l-x)⑷（3）按方程分段作图山式（1）与式（3）可知，AC段和段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于x轴的直线。4C段的剪力为止，故剪力图在x轴上方；段剪力为负，故剪力图在*轴之下，如图8-12（b）所示。山式（2）与式（4）可知，弯矩都是兀的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点x=（）M（兀）=09x=lM(x)=O9山这三点分别作出AC段与段的弯矩图，如图872（c）。例8-4简支梁人3受集度为$的均布载荷作用，如图8-13（a）所

4、示，作此梁的剪力图和弯矩图。(c)•mxy图8-13解（1）求支反力山载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点,点为*的任意横截而上的剪力和弯矩分别为选収坐标系如图所示。跖原ql0＜兀＜/(1)M(x)=FAx-qx^=^-x-^qx2（3）作剪力图和弯矩图山式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。山式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的儿点，才能画出这条曲线。例如X0//41/23//41M(x)03qP"3

5、2-ql?83ql2~32~0通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13（c）所示。F上山剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截而上剪力为最大值：°max2。M=—c[l~f—n在梁跨度中点横截面上弯矩最大’8，而在此截面上剪力尸Q-u。例8-5图8-14所示简支梁，跨度为/,在°截面受一集中力偶加作用。试列出梁的剪力方程伦00和弯矩方程MO）,并绘出梁的剪力图和弯矩图。(a)(b)(c)ywma^rrffT$T[Himsmb图8-14解（1）求支反力曲静力平衡方程工叽（力=0,工叽⑴=0得Fa=Fb*（2）列剪力方

6、程和弯矩方程山于集中力加作用在C处，全梁内力不能用一个方程來表示，故以°为界，分两段列出内力方程AC段FQM=FA=-0<*Wa(1)M(x)=FAx=yX0W*Vd(2)眈段①（力=耳=

7、dW兀V/⑶mM(x)=FAx-m=—x—maWxwI(4)（3）画剪力图和弯矩图山式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14（b）；山式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14（c）。二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系d.yq(x)在例8-4中，若将必（兀）的表达式对兀収导数，就得到剪力心（兀）。若再将心°°的衣达式对工収导数

8、，则得到载荷集度彳。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。°kq=q(x)—dxF^(x)■(M(x)（a）（b）图8-15设图8-15（a）所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为9（x）的分布载荷。9（x）是兀的连续函数，规定向上为止，选取坐标系如图所示。若用坐标为兀和尤+血的两个相邻横截面，从梁中取出长为山的一段來研究，山于故是微量，微段上的载荷集度9。）可视为均布载荷，见图8-15（b）o设坐标为尤的横截面上的内力为①（X）和”（兀）

9、，在坐标为x+血的横截面上的内力为FQ（Q+dF°（x）和M（x）+dM（兀）。假设这些内力均为正值，且在d「微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件工竹二。，得Fq（x）-[Fq（兀）+（Fq（x）]+?（x）dY=0山此导出设坐标为x+心截面与梁轴线交点为C,帆（x）山工％=0,得(8-1)drM(x)+d