剪力图和弯矩图1(基础)

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1、剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图由以上分析可知，一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为轴，以坐标表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为的函数，即，上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线表示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。例8-3图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的计算简图，试列出它的剪力方程

2、和弯矩方程，并作剪力(a)图和弯矩图。解（1）计算梁的支反力取整个梁为研究对象。由平衡条件：和，得，(b)（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁的左端A为坐标原点，选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力作用于(c)点，梁在和两段内的剪力和弯矩不能用同一方程来表示，应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以图8-12截面之左的外力表示，则得段＜＜（1）≤≤（2）段＜＜（3）≤≤(4)（3）按方程分段作图由式（1）与式（3）可知，段和段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于轴的直线。段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在

3、轴之下，如图8-12(b)所示。由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点，，，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c)。例8-4简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。图8-13解（1）求支反力由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为＜＜(1)0≤≤(2)（3）作剪力图和弯矩图由式（1）可知，剪力图是一条斜直线

4、，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如000通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值：。在梁跨度中点横截面上弯矩最大，而在此截面上剪力。例8-5图8-14所示简支梁，跨度为，在截面受一集中力偶作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。(a)(b)(c)图8-14解（1）求支反力由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程由于集中力作用在处，全

5、梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤(1)0≤＜(2)段≤＜(3)≤≤(4)（3）画剪力图和弯矩图由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。若再将的表达式对取导数，则得到载荷集度。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。图8-15设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷

6、集度为的分布载荷。是的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图所示。若用坐标为和的两个相邻横截面，从梁中取出长为的一段来研究，由于是微量，微段上的载荷集度可视为均布载荷，见图8-15(b)。设坐标为的横截面上的内力为和，在坐标为的横截面上的内力为和。假设这些内力均为正值，且在微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件，得由此导出（8-1）设坐标为截面与梁轴线交点为C，由，得略去二阶微量，可得（8-2）将式（8-2）对求一阶导数，并利用式（8-1），得（8-3）公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度

7、、剪力和弯矩之间的微分关系。它表示：（1）横截面的剪力对的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。（2）横截面的弯矩对的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。（3）横截面的弯矩对的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度。由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下（负值），即＜0，弯矩图为向上凸曲线；反之，方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：（1）梁的某一段内无载荷作用，

8、即，由可知，常量。若，剪力图为沿轴的直线，并由可知，常量，弯矩图为平行于轴的直线。若等于常数，剪力图为平行于轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即等于常数，则剪力是的一次函数，弯矩是的二次函数。剪力图为斜直线；若为正值，斜线向上倾斜；若负值，斜线向下倾