剪力图和弯矩图1(基础)

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1、剪力图和弯矩图1(基础)x轴，。以表(a)C(c)(b)（1）（2）（3）≤l(4)以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正，故剪力图在x轴上方；BC段剪力为负，故剪力图在x轴之下，如图8-12(b)所示。由式（2）与式（4）可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点x?0，M(x)?0Fablx?a，x?l，M(x)?0M(x)?由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图，如图8-12(c)。例8-4简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。图8-13解（1）求支反力由载荷及支反力的对

2、称性可知两个支反力相等，即FA?FB?（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点，选取坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为ql2ql?qx20＜x＜l(1)xql1M(x)?FAx?qx?x?qx22220≤x≤l(2)FQ(x)?FA?qx?（3）作剪力图和弯矩图由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。例如通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值

3、：FQmax?ql2。1Mmax?ql28，而在此截面上剪力FQ?0。在梁跨度中点横截面上弯矩最大例8-5图8-14所示简支梁，跨度为l，在C截面受一集中力偶m作用。试列出梁的FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。图8-14解（1）求支反力由静力平衡方程?MA(x)?0，?MB(x)?0得FA?FB?（2）列剪力方程和弯矩方程由于集中力m作用在C处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以C为界，分两段列出内力方程mlml0＜x≤a(1)AC段mM(x)?FAx?xl0≤x＜a(2)FQ(x)?FA?mla≤x＜l(3)BC段mM(x)?FA

4、x?m?x?mla≤x≤l(4)FQ(x)?FA?（3）画剪力图和弯矩图由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系F(x)F(x)在例8-4中，若将M(x)的表达式对x取导数，就得到剪力Q。若再将Q的表达式对x取导数，则得到载荷集度q。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。图8-15设图8-15(a)所示简支梁，受载荷作用，其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。q(x)是x的连续函数，规定向上为正

5、，选取坐标系如图所示。若用坐标为x和x?dx的两个相邻横截面，从梁中取出长为dx的一段来研究，由于dx是微量，微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷，见图8-15(b)。F(x)M(x)，在坐标为x?dx的横截面上的内力设坐标为x的横截面上的内力为Q和为FQ(x)?dFQ(x)和M(x)?dM(x)。假设这些内力均为正值，且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件?Fy?0，得FQ(x)?[FQ(x)?dFQ(x)]?q(x)dx?0dFQ(x)由此导出dx?q(x)（8-1）M?0设坐标为x?dx截面与梁轴线交点为C，由?C，

6、得略去二阶微量M(x)?dM(x)?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dxdx?02q(x)dxdx2，可得dM(x)?FQ(x)dx（8-2）将式（8-2）对x求一阶导数，并利用式（8-1），得d2M(x)?q(x)2dx（8-3）F(x)M(x)之间的微分关系。公式（8-1）～（8-3）就是载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩它表示：（1）横截面的剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。（2）横截面的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。（3）横截面的弯

7、矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表明弯矩图d2M(x)?q(x)2q(x)q(x)dx的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下（负值），即＜0，弯矩图为向上凸曲线；反之，q(x)方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：dFQ(x)?q(x)?0F(x)?q(x)?0dx（1）梁的某一段内无载荷作用，即，由可知，Q常量。dM(x)?FQ(x)?0FQ(x)?0M(x)?常量，x若，剪力图为沿轴的直线，并由dx可知，弯矩图为平行于x轴的直线。FQ(x)x若等于常数，剪力图为平行于轴的直线，弯矩