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《初中数学竞赛专题选讲 观察法(含答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初中数学竞赛专题选讲(初三・14)观察法一、内容提要数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法)，但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论,再加以论证.敏锐的洞察力来白对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方稈的解，必须明确方稈的解的定义，掌握方稈的解与方稈的系数这间的关系.一元方稈齐系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是一1;n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超
2、过方程次数时，可判定它是恒等式.对题型的特点的观察一•般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，己知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二、例题例1.解方程:x+-=a+-.xa解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或x二丄.a观察木题的特点是：左边x•丄=1,右边a-=l.(常数1相同).xa可推广到：若方程f(x)+-m=a+—(nmHO),fMa则f(x)=a
3、；f(x)=一.a;E°5°5r2020如：hx+—=a~+—,x~+3x—=8(・8=10———).x2a2x2+3x10都可以用上述方法解.例2.分解因式a'+b'+c’一3abc.分析：观察题目的特点，它是a,b,c的齐三次对称式.若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b—c,必有b+c—a,c+a—b；若有因式a+b,必有b+c,c+a；若有因式b—c,必有c—a,a—b.解：T用a=—b—c代入原式的值为零，・：有因式a+b+c.故可设a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab4-bc+ca)].比较
4、左右两边a3的系数，得m=1,比较abc的系数，得n=-l.a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2一ab—be—ca)分析：观察题目的特点猜想43^c=x用自身迭代验证:x=V3+x=J3+J3+兀解：*.*x=l3+x,可化为x2—x—3=0,1±V13I_/7~^x=■2经检验是增根.2•••原方程只有-个实数根“呼例4.求证:(x-/?)(x-c)
5、(x-c)(x-a)
6、(x-a)(x-b)(a—b)(ci一c)(b一c)(b一a)(c一a)(c-b)证明：把等式看作是关于x的二次方程，哉多只有两个实数根；但x=a,x=b,
7、x=c,都能使等式成立，口知aHbHc,这样，方程就有三个解；・・•方稈的解的个数，超过了方稈的次数.・•・原等式是恒等式.证毕.例5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形ABCD内接于圆，边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的直径长等于()(A)66.(B)65.(C)63.(D)62.2.直角梯形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB上的一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似.这样的点P有儿个？答：（A）l个.（B）2个.（C）3个.（D）4个.解：1.选（B）；2.选（C）.1.观察数字
8、的特征：V25:60:65=5：12：13；39：52：65=3：4：5都是勾股数.・・・育径等于65,故选（B）AF）AF）2.观察相似比可以是——或」__PB解得：x=2.8,_或BCx=l,或设AP为x,共有三解.则和H故选（C）.A⑴三、练习（一）、填空题1.三角形的三边长分别为192,256,320.则最大角等于度.2.化简48(72+1)(74+1)(78+1)……(7“+1)+1=3.方^.x2-(4+V3)x+3+V3=0的两个解是.4.方程x?+2x2+3x+2=0的实数根绘.°15.方程J
9、x
10、-2+』2_忖+—二+-=()的实数解是
11、x226.若x,y为实数且x+y=a,xy二b,则x2+y2=.■7.h&.—<—2[2松+2卜2+2=2的解是8.写出因式分解的结果：①x‘-7x2+36=.®(a+b—c)3—(a3+b34-cJ)=2y=x+2z=y+10.方程组<2x=w+17x17y17vv17z的实数解是:X=y=z=w=11.有一个五位正奇数X,将X的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,得到一个新五位数记作y，若x,y满足等式y=2（x+l）,那么x是12.如左图试问至少要用几种颜色，才能给图屮的备边正常着色.（正常看色是指使图屮有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜
12、色）（二）、选择题（只有一个正确的答案）1.四边形的边a,b,c,d,满足等式a
