浅谈复数的Euler公式及其应用.doc

《浅谈复数的Euler公式及其应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、浅谈复数的欧拉公式及其应用摘要：本文在复数域上给出欧拉公式的五种证明；通过实例说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用，从而简化了常规方法的繁杂．关键词：复数；欧拉公式；微分积分　应用一　欧拉公式的历史来源　等式称为复数的欧拉公式（Euler'scomplexnumberformula）。　　1714年，英国数学家科兹（1682-1716），首先发表了下述定理（用现代记号表示）：　1740年，著名数学家欧拉（1707-1783）在给约．伯努利（1667-1748）的信中写道，和都是同一个微分方程的解．因

2、此它们应该相等．1743年，欧拉又发表了这个结果   　1748年欧拉重新发现了科兹所发现的结果，它等价于，()　　这就是著名的欧拉公式．　若设，得　即．这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：ｅ，ｉ，π，１，０连起来！欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事．欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职．一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的．女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴．于是，狄德

3、罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明．狄德罗高兴地接受了挑战．第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，，因此上帝存在．请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好．周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱．他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了．二　欧拉公式的证明证法１：复指数函数定义法因为对任何复数，复指数函数定义为．所以，当的实部时，就得到欧拉公式

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（证毕）证法2：分离变量积分法设复数，两边对求导数，得　　．分离变量并对两边积分，得　　　　取得，故有，即．　　　　（证毕）证法3：复数幂级数展开式法　　　因为，则有，而　　，　，　　，所以．　　（证毕）证法4：变上限积分法　　考虑变上限积分．因为＝，又因为　　　　＝　　　　　　　　　　　＝，再设，由此得，所以有，即．令，得，即有．（证毕）证法5：极限法当时，欧拉公式显然成立；当时，考虑极限，（）．一方面，令　，则有．　　　　　　　　　　　　　

5、⑴另一方面，将　化为三角式，得：　　　　＝，　　　　　　⑵由deMoivre 公式得：　　　　，而　，，，所以有．由(1)，(2)两式得．三　欧拉公式的应用１　欧拉公式在三角中的应用基本公式　由欧拉公式，容易推出　　　　　　　应用举例①计算三角函数式的值例１　计算解：原式＝　　　　＝×　　　等比数列求和　　　　　×＝×　　　　　　　＝　例２　已知ａ，求的值解：原式＝　　　　　＝由ａ代入上式消去原式＝＝对所以　原式＝②　证明三角恒等式例３　　证明　为方便计算令，原式变为　　证明：左边＝　　　　　　＝　　

6、　　右边＝　　　　　　＝＝左边　　①解三角方程例４　　解方程　解：把代入得：　　　　　由欧拉公式得：经整理得：