毕业论文--浅谈泰勒公式及其应用.doc

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1、浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等儿个方面的应用给予举例说明述行研究。关键词：泰勒公式求极限不等式行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，i般用麦克劳林公式形式，

2、并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。分析：此题分母为如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。解：因为cx=1+兀—x~+o{x~）?!将兀换成冇有2（-才）+言（一才）2+。（（一手门24厲归坛&+心）亠111所以cosx-e2=x4（）+o（兀4）_0（_兀4）2484“护+心）XIcosx-e'lim:4XTooX二limXT8訂皿）x412cnIT/i/n1•COSX—€'例2求极限lim——Esinx解:因为分母的次数为4,所以只要把COSX,I1014cosX=1JT——X+o2

3、!4!X展开到X的4次幕即可。并21丫2八八亍齐冇）2"4）X「cosx-e2lim才一＞°sinx(―~-)X4+(7(X4)lim——xtOX41——112带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。9例皿计近似公式严十守违XG［（）」］的绝对误并。解：设=则因为/(0)=1厂⑴弓（1+川13厂⑴=冷（1+兀戶35rw=

4、（i4-x）-2厂（。二r（o）=-

5、所以f（x）=vi+x带有拉格朗11型余项的二阶麦克劳林公式为:Yr2r35皿^勺飞+K+%戶(°＜以)X_5I从而：RAx}=——（1+^xp<—八）16'）16（2）利用

6、泰勒公式求近似值xw[0,1]例5计算£的值，使其误差不超过10“解：由Q=1+兀+二一+•••+—+—~x(n+IJ2!n(〃+1)!当x=l时…(1I/€=1+1F2!n(77+1)!Q<0

7、不等式的一个重要方法。lim/(x)=-l,试求存08o证明：由于.f（x）在［0,1］的最小值不等于在区间端点的值，故在［0,1］内存在旺,使/（%.）=-I,由费马定理知，.厂（坷）=0。又/（兀）=/（无1）+厂（兀1）（尤一兀

8、）+厶里尤一兀

9、）2（〃介于X与旺之间）由于7(0)=/(1)=0,不令x=0和x=l,有所以o二f(o)=_i+2_^2(O-xJ2厂($)=2(1-西尸U＜爲＜1)当18，而当-8，可见%)与f”G)22屮必有

10、一个大于或等于8。4、在行列式计算中的应用若一个行列式可看做x的函数(一-般是x的n次多项式)，记作f(x),按泰勒公式在某处X。展开，用这一方法可求得一些行列式的值。例7求n阶行列式yyy•＜X解：记flt(x)=D,按泰勒公式在z处展开:f(?)O-Z)+2!U-z)2+...22^2(7(4)易知z-y00…0y0z-y0…0yD=0•••0•••z-y…••••••0•••y•••=^z-y)k-'••••••••••••z-yy00000z-y邓介由⑸得，fk(z)=z(z-yy~k=^-ji时都成立。根据行列式求导的规则，有fn(x)=nfn_x(%),/；_,(x)=(

11、n-1)A_2(x),…J；(兀)=V(兀)=1(因MM=x).于是fn(兀)在兀=z处的备阶导数为fn(z)=/„'U)1口=晰li⑵=nz(z-y)n~2ffn(z)=fn⑵lg=nfn-⑵=一1)Z(Z一刃"",f：rx⑵=f：rXu=n(n-1)…2f⑵=n(n-1)…2乙/?）⑵“心-1）…21把以上各导数代入（2）式屮，有nfn⑴=z(z-y)n~}+冷女一y)""(尢一z)+”;!Dz(z-y)n~3