产生各种概率分布的随机数.ppt

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1、5.3产生各种概率分布的随机数广师Ray_xing5.3.1求逆法求逆法是基于概率积分反变换的法则，是从许多种离散分布中获得采样值的基本方法。求逆法的基本步骤如下：Ⅰ计算所要的随机变量X的概率分布函数F（X）；Ⅱ在X的取值范围内，置F（X）=R。由于X是一个随机变量，因此R也是一个随机变量，可以证明，R是区间（0，1）上的均匀分布；Ⅲ解方程F（X）=R，用R来表示X，即是求F（X）的逆；Ⅳ产生所要的在（0，1）上的均匀分布随机数并由下式计算所要的随机变量：。若X为一个随机变量，它的分布函数为F（X），记为F（X）的反函数，U为[0，1]均匀分布随机变量，则随机变量同X具有相同的分布函数

2、。事实上，我们有：算法：1）产生U2）例5.3：产生服从负指数的随机数x。负指数密度函数：其分布函数：易得F（x）的反函数为：设U为[0，1]即为所求的随机数。又因U是[0，1]上均匀分布的随机数，所以（1-U）也是[0，1]上均匀分布的随机数，故上式可以简化为均匀分布，则例5.4产生服从集合分布的随机数几何分布的密度函数为：其分布函数为：设U是[0，1]上均匀分布的随机数，令可求得又因（1-u）也是[0，1]上均匀分布的随机数，上式可简化为求逆法的优点显而易见，但是在实际应用时往往会遇到一些困难。问题在于分布函数的反函数难以求得，或者计算反函数的工作量过大，以至于无法实现。5.3.2

3、舍选法舍选法的实质是从许多均匀分布的随机数中选出一部分，使其成为具有给定分布的随机数，它可生产任意有界的随机变量。假设要生成随机变量X服从1/4到1之间的均匀分布，一种方法是：1）：产生随机数R2）：若R≥1/4，接受X=R；否则舍去R，转回13）：重复该过程至结束设某一随机数变量的密度函数f(x)满足：当x>b或x

4、的上界为M，则用舍选法产生X的随机数的步骤如下：1）产生两个独立随机数r1,r22）计算x0=a+r1(b-a),y0=M·r23）y0≤f(x0)，则接收x0作为输出；否则舍去该组数据，重新从1开始，重复此过程。aMybOxx0舍去选取y=f(x0)y=f(x)定理：设R2为（0，1）上均匀随机数，R为[a，b]区间上的均匀随机数，R与R2相互独立。是[a,b]区间上的某一随机变量的密度函数，取一正常数，使得成立，则有:证明：定理得证。由上面可以看到，舍选法不能每次都得到一个随机数，究竟多少次才能求得一个符合判别准则的随机数呢？注意到我们称之为舍选法的效率。例5.5求服从Beta分布

5、的随机数Beta分布的密度函数为其中为参数，r,s>1解：计算f(x)的最大值求解步骤：1）根据r,s，求f(x)的最大值M2）产生[0，1]均匀分布随机数R1，R2。3）检验是否成立。若成立R1为Beta分布的随机数，否则转2。例：用舍选法生成具有下面密度的随机数分析：由于随机变量在（0，1）上取值，不妨取确定C使得求微分得最大值点于是于是有舍选法只用到了密度函数f(x)，所以比较方便简单，但其效率低。算法：1）生成随机数和2）如果，停止迭代，令，否则返回1。生成一个X步骤1的平均迭代次数为：5.3.3组合法在本节中我们要用到凸组合的概念，它的定义如下：设、…、是中点集X的k个点，若

6、存在、、…、满足，，使也属于X，则称为、、…、（对于、、…、）的凸组合。组合法的主要思想是这样的，当我们要生成的随机数数列服从的分布函数可以用其它分布函数，，┅的凸组合表达，并且远比时，我们可以先生成服从的随机数数列，然后再的随机数数列。要简单利用这些随机数数列得到服从具体来说，我们假定对所有x，可以写成：这里，，每一个是一个分布函数，，则假定它可以写成这里是其密度函数。在离散情况下，组合法依同样若x为密度函数然适用。有时我们能给出组合法的几何解释，例如对于X上一个具有密度的连续随机变量，我们可将下的面积分为、、…区域，对应于将分解为凸组合表示，然后我们可以认为第一步是选一个域，而第二

7、步则是从所选域对应的分布中产生随机数。例双指数（或拉普拉斯）分布具有密度函数，x为实数。由图5.5可见，除了因子0.5之外，可以看成是由两个背靠背的指数函数组成。我们可把表示为：这里表示集合A的指示函数，它定义为：如其他于是，可看作和的凸组合，和都是密度函数，且因此，我们可用和的组合来产生X。R2，如果，则令返回。同样，，则令返回。首先产生两个在[0，1]上服从均匀分布的随机数R1，若图5.5双指数分布的概率密度函数5.3.4经验分布法经验分布