各种分布的随机数的生成

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1、各种分布的随机数的生成1基本方法在计算机中都备有可直接使用的均匀分布随机函数或程序，一般是用数值转换中的求余法得到的，这样产生的随机数列，是根据确定的算法递推出来的，严格地讲并不是随机的，因此称为伪随机数。不过如果计算方法选得恰当，它们近似于相互独立和均匀分布，在一定的置信度下，能通过统计检验中的参数检验、独立性检验、连检验等，因此可以把它们当作真正的随机数使用在一般情况下，计算机中的随机函数所产生的数列为[0,1]区间均匀分布的随机数列，有时就需要转换成其它分布的随机数列，如正态分布、瑞利分布等，下面讨论如何从[0,1]区间均匀分布的随机数列,,,得到任意分布的随

2、机变量抽样。12n设所求的任意分布的随机变量的概率密度函数为f(x)，其累积分布函数为F(x)，且F(x)在[0,1]区间是单调递增的连续函数，则有随机变量F()（1）是[0,1]区间上的均匀分布的随机变量。由（1）式可得1F()（2）（2）式表示可用求累积分布函数的反函数的方法来产生任意分布的随机数。若F()不是某种典型的分布函数而是由统计得到的数值表，则用数值法作随机抽样的计算。2均匀分布2.1定义若连续随机变量的概率密度为1,当axbf(x)ba0,其它2ab(ba)则称服从均匀分布，记为~(a,b)，数学期望E

3、，方差D。2122.2随机数列的生成如果为[0,1]区间均匀分布的随机数列，则令aF()f(x)dxaba于是得(ba)a即为[a,b]区间均匀分布的随机数列。3指数分布3.1定义指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔。若连续随机变量的概率密度为(x)e(x)f(x)，（0）0(x)11则称服从指数分布，记为~e(,)，数学期望E，方差D2其累积分布函数为(x)1e(x)F(x)0(x)概率密度函数累积分布函数图1

4、指数分布的概率密度函数和累积分布函数3.2随机数列的生成如果为[0,1]区间均匀分布的随机数列，则令()F()1e于是得1ln1即服从指数分布的随机数列。4正态分布4.1定义若连续随机变量的概率密度为2(x)12f(x)e2(0)22则称服从正态分布，并记为～N(,)，并且E，D特别的，当0，1时，称为标准正态分布，记为～N(0,1)，此时2x1f(x)e22正态分布的概率密度函数曲线见图2。图2正态分布的概率密度函数（绿色为标准正态分布）标准正态分布的累积分布函数能够被

5、一个叫做误差函数的特殊函数表示，2x1x1xF(x)e2dx1erf222k2k12x22x其中erfxek0(2k1)!!正态分布的累积分布函数图形曲线见图3。图3正态分布的累积分布函数（颜色与概率密度函数同）它的反函数被称为反误差函数，为11F(x)2erf(2x1)正态分布的累积分布函数F(x)没有初等函数表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。虽然正态分布函数的积分不能用初等函数表达出来，但我们还可以采用其它的方法来生成正态分布随机数。4.2根据中心极限定理生成正态分布随机数列

6、中心极限定理为：设、、、、为相互独立具有相同分布的随机变量序列，E、12nn2D（n0,1,2,)，则nn1211xtlimPxe2dtknnk12中心极限定理说明，无穷多个具有相同分布的随机变量之和是服从标准正态分布的。相应的，如果多个随机变量均为[0,1]区间的均匀分布，则生成标准正态分布的式子为：k12kiki12其中，k为[0,1]区间均匀分布的随机变量的个数。k值可以根据计算精度来选取，若12取k=12，则i6。此时算得的将不超过(-6,6)的范围，这对于一

7、般可靠度i1的计算已达足够精度。4.3Box-Muller算法在4.2节给出的方法是一种近似算法，是用多项式估计正态分布，Box-Muller算法则给出了一种精确的生成方法。Box-Muller算法隐含的原理较为复杂，但结果却是相当简单：如果、是在[0,1]区间上均匀分布的随机变量，则121(2ln)2cos21121(2ln)2sin2212均为服从N(0,1)标准正态分布的独立随机变量，它在整个区域上都是精确的，只取决于和的随机性和独立性。124.4标准正态分布转换为一般正态分