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时间:2020-03-18
《数学建模课件最小二乘法拟合.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、4.最小二乘法线性拟合我们知道,用作图法求出直线的斜率a和截据b,可以确定这条直线所对应的经验公式,但用作图法拟合直线时,由于作图连线有较大的随意性,尤其在测量数据比较分散时,对同一组测量数据,不同的人去处理,所得结果有差异,因此是一种粗略的数据处理方法,求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据,只要处理过程没有错误,得到的斜率a和截据b是唯一的。最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据,用计算的方法求出最佳的a和b。显然,关键是如何求出最佳的a和b。(1)求回归直线设直线方程的表达式为:(2-6-1
2、)要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据(xi,yi),假定自变量xi的误差可以忽略,则在同一xi下,测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下:显然最好测量点都在直线上(即d1=d2=……=dn=0),求出的a和b是最理想的,但测量点不可能都在直线上,这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小,也就是考虑d1+d2+……+dn为最小,但因d1、d2、……、dn有正有负,加起来可能相互抵消,因此不可取;而
3、d1
4、+
5、d2
6、+……+
7、dn
8、又不好解方程,因而不可行。现在采取一种等效方法:当d12+d22+……+dn2对
9、a和b为最小时,d1、d2、……、dn也为最小。取(d12+d22+……+dn2)为最小值,求a和b的方法叫最小二乘法。令=(2-6-2)D对a和b分别求一阶偏导数为:再求二阶偏导数为:;显然:;满足最小值条件,令一阶偏导数为零:(2-6-3)(2-6-4)引入平均值:;;;则:(2-6-5)解得:(2-6-6)(2-6-7)将a、b值带入线性方程,即得到回归直线方程。(2)y、a、b的标准差在最小二乘法中,假定自变量误差可以忽略不计,是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量,都有误差,从而导致
10、结果y、a、b的标准差(n≥6)如下:(2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)(2-6-9)(2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量,其定义为:(2-6-11)r值在0<
11、r
12、≤1中。
13、r
14、越接近于1,x、y之间线性好;r为正,直线斜率为正,称为正相关;r为负,直线斜率为负,称为负相关。
15、r
16、接近于0,则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的方法是
17、r
18、19、性的.r称为相关系数的起码值,与测量次数n有关,如下表2-6-2表2-6-2相关系数起码值rnrnrnr31.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值,再与r比较,若20、r21、>r,则x和y具有线性关系,可求回归直线;否则反之。例9:灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为测得的数据同例7,其中间处理过程如下,试用最小二乘22、法求出Ki和Rg,并写出回归方程的表达式。解:测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较:数据处理如表2-6-3:表2-6-3Rs=0.100ΩR1=4350.0Ωd=40.0mmi12345678平均值R2(Ω)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(104Ω2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.39023、.710.313.34625R2U(102ΩV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位:=1.67125=225.0=3.34625=6.375×104=461.5625相关系数查表得知,当n=8时,r0=0.834,两者比较r>r0,说明x、y(即U、R2)之间线性相关,可以求回归直线。求回归方程的系数=154.6192304=-33.4代换=33.4Ω=154.6192304Ki==3.7170×10-9A/mm计算标准差为:=2.64561902;=2.300545589;=1.2524、7626418计算不确定度:ΔRg==2Ω;==0.81%;ΔK=0.03×10-9A/mm测量结果表达式电流计内阻:Rg=(33±2)
19、性的.r称为相关系数的起码值,与测量次数n有关,如下表2-6-2表2-6-2相关系数起码值rnrnrnr31.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值,再与r比较,若
20、r
21、>r,则x和y具有线性关系,可求回归直线;否则反之。例9:灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为测得的数据同例7,其中间处理过程如下,试用最小二乘
22、法求出Ki和Rg,并写出回归方程的表达式。解:测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较:数据处理如表2-6-3:表2-6-3Rs=0.100ΩR1=4350.0Ωd=40.0mmi12345678平均值R2(Ω)400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(104Ω2)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390
23、.710.313.34625R2U(102ΩV)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位:=1.67125=225.0=3.34625=6.375×104=461.5625相关系数查表得知,当n=8时,r0=0.834,两者比较r>r0,说明x、y(即U、R2)之间线性相关,可以求回归直线。求回归方程的系数=154.6192304=-33.4代换=33.4Ω=154.6192304Ki==3.7170×10-9A/mm计算标准差为:=2.64561902;=2.300545589;=1.25
24、7626418计算不确定度:ΔRg==2Ω;==0.81%;ΔK=0.03×10-9A/mm测量结果表达式电流计内阻:Rg=(33±2)
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