资源描述：
《离散数学(刘任任版)第16章答案.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、证明：设是e单位元（下同）。 ,2.设。乘法运算定义如下表：01001110易知，单位元，运算满足封闭性和结合律，且。故是群。3.解。因A无单位元，故A不成群。且,无结合律。4.证明：又因此，,于是，得,再由(1)知，,故有.5.证明：对任意，有。故G是交换群6.证明：任取。若，则和在G中成对出现。注意到群G的元素个数为偶数，因此，在G中满足即的元素个数也是偶数。但e满足.故除e之外，至少还有一个,使得7.证明：设1至4阶群分别为1)显然，是交换群。2)是交换群。3)对，若，则有，即,从而（矛盾）;同理，若,则有（矛盾）。因此必有。
2、又故是交换群。4)对于。(i)若中两个元素互为逆元，不妨设，则必有且,否则有或a=e。同理可证。(ii)若各自以自身为逆元，即，则必有总之，是交换群。设。由S上的所有3元置换所组成的集合对于置换的乘法运算构成一个群（见P271）。但它不是交换群，即8:证明：（1）因为对任意整数k，当且仅当。所以a的周期是无限的，当且仅当的周期是无限的.若a的周期是k（正数），则的的周期由对称性有.因此，.故a与的周期相同。注意到，于是当且仅当当且仅当。因此与a的周期相同。（2）由（1),只须证对任意整数k，当且仅当.当时，结论显然成立。今设。则当且
3、仅当当且仅当当且仅当当且仅当.再设。令，由上有当且仅当时。注意到对任意,当且仅当，于是当且仅当.故当且仅当.9.证明：任取,则对任意,有，从而因此，.故是G的子群.（注：10题在后面）11.证明：因为,所以存在整数s,t使得.于是 但,H是G的子群.故.12.证明（一）：设s和t的最小公倍数为n。ab的周期为m。因为ab=ba,所以，，从而.又设因为，所以。又，因此，，从而，。于是,即。因此.故.证明（二）：设ab的周期为m。因为且，所以（否则，，从而得m=0。此与m的假设矛盾）。于是，，即m是s和t的公倍数。若s,t的最小公倍数不
4、是m而是，则，且此与m的假设矛盾。得证。13.证明：若,则存在且,即存在整数s,t，使且。因p是质数，所以存在整数m,n,使.于是，，即,矛盾。故.14:解设于是，根据置换的乘法运算规则，有16.证明：设的周期为d.的最小公倍数为m。因互不相交，所以.于是。另一方面，因为且互不相交，因此，。于是，.由最小公倍数的性质知，,故d=m.17.解：(1).由题16有和的周期为6。(2)18.解。设.其子群有：,19.解：因和均有限，且不难验证，和对乘法运算均封闭。故由定理17.2.2知，和均为的子群。21.证明：因为,所以H在G中只有两个
5、左陪集：H和G-H.也只有两个右陪集:H和G-H.任取,若，则.若则, 故恒有.即H是G的正规子群。22.解。令。共有三个左陪集：23.证明：注意到因 此，关于K的左、右陪集分解相同，且此分解是一个等价类分解。所以，对任意，有,其中或或(243), 从而， 故K是的正规子群。24.证明：设e是群G的单位元。因eH=H，所以子群H是G的一个左陪集。若另有一个陪集aH也是G的子群，则.于是，.由17.4节的性质5知，。故结论成立。25.证明：由定理，有,,。于是，,从而26.证明：设G是阶群，任取。设a的周期为n，则，且。又因为p是质数
6、，所以，.若k=1，则(a)是p阶子群;若k>1，令,则b的周期为p。于是,(b)是p阶子群。27.证明：显然，是G到上的复合映射，且对任意有故.28.证明：对任意,显然.因此,是单射.又对任意,有,使.故是满射,从而是G到G的双射.再任取.有综上可知,是G到G的一个自同构.29.证明：设G是循环群，a是生成元。是G到的满同态。令.于是，对任意，存在整数k，使这说明.即是循环群。30.证明：先证是的正规子群。对任意有使。因为H是G的正规子群，所以，.于是,.即故是的正规子群。设是到的自然同态。令.则～.由得.从而，由第三同态定理得。
7、31.令.由不难知道,是到的映射,且显然是满射。又对任意,从而，.同态核为：.由第三同态定理，得.32.证明：可以证明HK是G的子群，是G的正规子群，显然也是H的正规子群。令,.不难验证，f是HK到H的满同态。又设是H到的自然同态。于是，是从HK到的满同态。并且，对任意,故.又第三同态定有，.20.证明：设是AB的子群。任取,有。即存在,使，于是，,从而。反之，任取,则.于是，从而。总之，.另一方面，设.任取.因A,B是G的子群。所以，.又因。因此,存在,使得.从而，其中，。由定理17.2.3知，AB是G的子群。10.证明：设ab的
8、周期为t。由ab=ba得。于是。又。令。设c的周期为p..又,于是，。但,故p=1.从而于是，有。即,而，因此，,故.
