离散数学(刘任任版)第5章答案

《离散数学(刘任任版)第5章答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、离散数学习题集第五章图与子图2、设G（p,q）是简单二分图求证：。3、设G（p,q）是简单图,求证:q≤p(p-1)/2，在什么情况下,q=p(p-1)/2?证明：因是简单图。所以G中任意两颗点之间最多只有一条边。故。当G为完全图时，有q=p(p-1)/2。4、试画出四个顶点的所有非同构的简单图.共有11个。即5、证明图5.14中的两个图是同构的,图5.15中的两个图不是同构的.试问,图5.16中的两个图是否同构?agfhebdcji1.令，（2）如下图，若(a)与(b)同构，则对任何双射，必有。于是推得但d(b

2、)≠d(v)，故(a)与(b)不同构。bedacwxvyu(3)下面两个图是同构。令,fgabcde6、设G（p,q）是简单二分图，且≌,求证.∵G≌,∴且于是

3、E(G)

4、=p(p-1)/4。显然

5、E(G)

6、是整数。于是P或P-1是4的倍数。因此，或。或7、构造一个简单图G,使得≌.如下图，令，则有≌.8、求证:对任何图G（p,q）,有:∵而∴因此即9、设G（p,q）是简单图,p≥2.求证:G中至少有两个顶点的度数相等.证明：假设G（p,q)中任何顶点的度均不相等,则p个顶点的度分别为0,1,2,…,p-1。（1）

7、设，则中存在孤立点；（2）设，则中无顶点v满足，此与（1）矛盾。总之，0和p-1不能同时出现。由抽屉原理知，必有，使。10、求证:在图G（p,p+1）中,至少有一个顶点v,满足d(v)≥3.证明：若对任意，均有，则有即，也即。从而，矛盾。故存在，使。11、求证:在任何有n(n≥2)个人的人群中,至少有两个人在其中恰有相同个数的朋友.证明：作一个n阶简单图，n个顶点分别表示n个人。两个人是朋友当且仅当表示这两个人的顶点邻接。这样，问题就转化成中至少有两个顶点的度数相等。此结论题9已证。12、求证:每一个p阶简单图G,

8、都与Kp的子图同构.证明：因任何一个P阶简单图G≤Kp。又。故结论成立。13、求证:任何完全图的每个点导出子图仍是完全图.证明：由点导出子图的定义及完全图的结构即知结论成立。14、求证:二分图的每个顶点数不小于2的子图仍是二分图.证明：设，且。令，显然，且。因此。15、设G（p,q）是简单图，整数n满足1

9、，求证:G至少有p–1条边;证明：对p用归纳法a)p=1时，显然成立。b)假设对于小于p的自然数，结论成立。c）在p阶连通图中任取一个顶点v。设G-v共有k个分支，且每个分支有Pi个顶点，Pip–1,则G中必含回路;证明：设。若G不含回路，则必有满足。于是仍连通且无回路，而恰有条边。如此下去，连通无回路且恰含条边，一个顶点，此时是一个平凡图。从而即。此与

10、矛盾。故G必含回路。16.(3)设G（p,q）是连通图，求证:若q=p–1,则G至少有两个悬挂点.证明：设，若对任何，均有，则，即。此与矛盾。故G中至少有一个悬挂点.。又若G中最多只有一个悬挂点，则即。从而得出（矛盾）。故G中至少有两个悬挂点。17、求证:若边e在图G的一条闭链中,则e必在G的一条回路中.证明：设，G中含e的闭链为。若E不是回路，则必有。（因为回路定义是：没有重复点）从E中去掉，得到仍为闭链。如此下去，就可得到含的回路。18、求证:对于图G(p,q),若,则G中必含回路.证明：．∵∴G中无悬挂点。任

11、取，设v1与v0邻接。如此下去，可得G中的一条链又因G是有限图,由此可得一条闭链，由第１７题的证明过程可知，故此链上必有回路。19、设G（p,q）是简单图，且,求证:G是连通图.证明：若G不连通，则可将V(G)划分成V1,V2，使得V1中的顶点与V2中的顶点不邻接。令，，于是，，且()即矛盾！故连通。另解：考虑。则有（因为p(p-1)/2是完全图的边数）即不连通，于是，G连通。20、对于p>1,作一个的非连通图.证明：令。作如下，故G不连通。21、（1）证明：若Ｇ(p,q)是简单图，且,则G连通.证明：（1）设。若

12、G不连通，则G的顶点可划分成两个集合，使得V1与V2中的顶点互不邻接。不妨设，则。由G是简单图知，(因为)从而矛盾。故G必连通。21、（2）当p为偶数时,作一个非连通的k–正则简单图,其中取p=6。则。作非连通图G如下：22、证明:若e∈E(G),则证明：因G的任意一条边e最多联结G-e的两个分支。故23、证明:对图G中任意三个顶点u,v和w,d(u,v)+