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《离散数学(刘任任版)习题2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题二1、(1)/?={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}(2)/?={<1,0>,<2,1>,<4,2>,<8,3>}2、设/?是定义在集合A上的二元关系。(1)令A=0,则R=0,于是/?既是自反又是反自反的；(2)令A={1,2},/?={<1,1>},于是R既不是自反又不是反自反的；(3)令4={1,2},7?={<1,1>,<2,2>},于是R既是对称又是反对称的；(4)令A二{1,2,3},/?二{v1,2>,v2,1〉,v1,3>},于是/?既不是对称又不是反对称的。3、设A=
2、n,于是2(1)共有2"种定义在A上的不同的二元关系；(2)共有2“-"种定义在A上的不同的自反关系；2(3)共有2"一"种定义在A上的不同的反自反关系；(4)共有2"・2"(z)/2=2也+1)/2种定义在人上的不同的对称关系；(5)共有2吃C“-k种定义在人上的不同的反对称关系，其中，心咻T)。k=02关系矩阵中4、(1)自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图中每个结点上都有圈。(2)反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0;而关系图中每个结点上均无圈。(3)对称关系矩阵为对称矩阵；而关系图中任何两
3、个结点之间的有向弧是成对出现的，方向相反。(4)反对称关系矩阵MR=(^)/?xn的元素满足：当i工j时，xrji=0o5、/?・S={vl,4>,vl,3>},S・/?={v3,4>}R2={<1,1>,<1,2>,v1,4>},S2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}。6、设/?={<3,1>,<3,2>},T={<1,3>,<3,2>},5={<1,2>,<2,3>},P={<2,1>,<3,1>}'于是，有SnT=0,/?-(SnT)=0,/?-S={<3,2>,<3,3>},/?•?={<3
4、,3>},因此，(/TS)c(/TT)={v3,3>}H0,从而，R(ScT)u(R・S)c(R・T)。又，(Sc7>P=0,5P={<1,1>},T-P={<3,1>,<1,1>},因此，(S•P)c(厂P)={v1,1>}工0,从而，(ScT)・Pu(S・P)c(T・P)°7、(1)正确。因为对任意x€A,有xR,xSxf所以x(RS)x□故是自反的。(2)错误。例如，设兀工歹，且ySx,于是x(R-S)x□故R・S不是自反的。(3)错误。例如，设对称关系R={,},S={vz,y
5、>,vy,z>}。于是，但vy,兀故不是对称的。错误。例R={9vy,w>},.g7?•5o如，设反S={,},故7?・S不是反对称的。错误O例R={.},S={.},vvvx(/?・S)y,)；(/?・S)z,但因为wHu,所以，wR・S°8、(1)厂(&2尺2)=(代1U/?2)U(/?iU/?2)°=(/?iu/?2)u(/?y^勺。)=(/?!2帰)5人2^勺。)=r(/?i)ur(/?2)5(/?!U
6、/?2)=(/?!U/?2)U(/?1U/?2)_1=(/?]U/?2)u(/?]_1UR2~})=(/?]UR「')U(/?2U^2~l)(2)由定义，"/?])=/?]U/?fU…，r(/?2)=/?2U居u…，r(/?
7、U/?2)=(/?1u/?2)u(/?!u/?2)2u-^,于是，r(/?!)ur(7?2)=尺1/?!2u---u/?2匕R??匕…=(尽R2)^(R2oRf2••。下证对任意Hn1,有R「uRfC(/?!u/?2)"o任取vx,y>w/?ru/?2"，不妨设vx,y>w/?i"
8、。于是，存在Z],Z2，・・・z〃wA，使得v兀，Z]>gR{cR]“2,gR、cR{uR2^-9gRcRuR2,e从而，e(RiuR2)n.举例说明“u”成立。设A={1,2,3},R{={<1,2>},R2={<2,3>},于是,t(R{u$)={v1，2>,v1,3>,v2,3>}z>t(R{)ur(/?2)={<1,2>,<1,3>}。错误：{vl,2>,<2,3>}9、设內和$是集合A上的二元关系。注意到/?i°=/?2°=(R1CR2)
9、°，于是，(1)r(7?jn/?2)=(^ic/?2)u(/?in7?2)°=(/?1n/?2)o/?1°=(/?,u/?I°)n(/?2uT?!0)=(/?!u/?1°)n(/?2u/?2°)二/(/?])C/(Z?2)(2)$(/?]c/?2)=(Rc/?2)u(R[cZ?2)T，s(RJ=R]uR「',s(R?)=R?oR?',5(/?!)ns(R2)=(/?!o)n(/?2uR2~x)。任取gs(RcZ?
