线性代数的某些结论.doc

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1、线性代数中的有关重要结论宁荣健一、阶方阵可逆的充要条件1。2存在方阵，使得或。3可表示成若干个初等矩阵的乘积。4特征值全不为零。5可经过初等变换变为，或等价于。6的行（列）向量组线性无关。7的行（列）向量组的秩。或。或。8的行（列）向量组线性为向量空间的一组基。9齐次线性方程组只有零解。10非齐次线性方程组有惟一解。11正定。二、初等行变换的作用1将矩阵化成阶梯形：①求矩阵的秩，向量组的秩；②判断向量组的线性相关性，求向量组的极大无关组；③判定线性方程组是否无解、有唯一解、有无穷多解；④求齐次线性方程组基础解系中解向

2、量的个数。2将矩阵化成行最简形：①求逆矩阵；②解线性方程组，解矩阵方程；③求齐次线性方程组的基础解系；④将向量组中的向量用其极大无关组线性表示。3初等行变换的性质：①不改变矩阵（向量组）的秩；②不改变线性方程组的解，行向量组等价；③不改变列向量组的线性相关性。④对的矩阵，初等行变换相当于左乘一个阶初等矩阵。三、有关秩的结论1。2。3。4若，则，或存在可逆阵，使得，则。1；或向量组可由向量组线性表示，则。2，。3若，则。4若，则。5若存在的一个阶子式，则；若的所有阶子式，则。6矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩。7。

3、8对于非齐次线性方程组，当时，有惟一解；当时，有无穷多解；当时，无解。9对于齐次线性方程组，当时，只有零解；当时，有非零解。10线性方程组的解均为的解线性方程组与同解。11线性方程组与同解的行向量组与的行向量组等价；的列向量组与的列向量组等价。12线性方程组与有相同非零解线性方程组即有非零解。1若，线性方程组的基础解系中解向量的个数为。2若矩阵方程有解，则。3若为阶实对称矩阵，为的重特征值，则，即线性方程组的基础解系中有个解向量。四、向量组线性相关性的判定1定义：如果存在一组不全为零的数，使得，就称线性相关；否则，称

4、线性无关。2当时，线性相关；线性无关。当时，线性相关的对应分量成比例；线性无关的对应分量不成比例。3线性相关线性方程组有非零解；线性无关线性方程组只有零解。4线性相关；线性无关。5若是方阵，则线性相关；线性无关；6若中存在一个阶子式，则对应的个列（行）向量线性无关。7初等行变换不改变列向量组的线性相关性。8若向量线性相关，则增加若干向量仍线性相关；若向量线性无关，则去掉若干向量仍线性无关。9当向量的维数小于向量的个数时，则向量组线性相关。10若线性无关，则线性相关必能由线性表示，且表达式唯一。1设向量组线性无关，，则

5、线性相关；线性无关。2属于不同特征值的特征向量线性无关。五、矩阵的等价，合同，相似1若经过有限次初等变换变成，即存在可逆阵，使得，则与等价。（注1：与未必为方阵；注2：与未必相似）2若与相似，即存在可逆阵，使得，则与一定等价。（注1：与必为方阵）3若与合同，即存在可逆阵，使得，则与一定等价。（注1：与必为方阵，且一般为实对称阵）4相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征多项式，有相同的特征值。（反之未必）5相似对角化的条件：①阶方阵可相似对角化有个线性无关的特征向量若是的特征方程的重特征根，则对应的线性无关的特征向量有

6、个，即；②若阶方阵有个不同的特征值，则可相似对角化；③若为阶实对称阵，则可相似对角化。6合同矩阵的性质：阶实对称阵与合同与具有完全相同的正特征值个数、负特征值个数和零特征值个数对应二次型正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数分别相等。7若对于正交阵，若，则与等价，相似，合同。六、特征值的结论1定义：为阶方阵，，为的特征值，为的特征向量。2为的根，特征向量为的非零解。3设为阶方阵的特征值，则，．4设为阶方阵的特征值（含重数），①的特征值为（含重数），注意：特征向量未必相同；②为多项式，则的特征值为（含重数），且其特征向量与

7、的特征向量相同；特别地，若，则的特征值全为零；若，则的特征值只可能为或；若，则的特征值只可能为或。③若可逆，则的特征值为；的特征值为（含重数），且其特征向量与的特征向量相同。5其它结论：①对角矩阵的特征值为其主对角线元素；②相似矩阵具有相同的特征值。注意：特征向量未必相同；③属于实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交；④阶正交阵（）的特征值为或或模为的复数；⑤若方阵的各行元素之和为，则为的一个特征值，且特征向量为；⑥若方阵不可逆，则为的一个特征值；⑦（了解）设均为阶方阵，则与具有相同的非零特征值；⑧（了解）设为阶方阵，

8、且，则为的重特征值。七、二次型及实对称矩阵的正定性、1充要条件：①元二次型正定对任意，均有正定的特征值全大于零的各阶顺序主子式全大于零的正惯性指数为存在可逆矩阵，使得。②元二次型负定对任意，均有负定的特征值全小于零的阶顺序主子式与同号的负惯性指数为存在可逆矩阵，使得。2若、为阶正定阵，则有①均为正定阵；②若，则正定，；③为正定阵；④对也为正定阵