线性代数必须熟记的结论

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1、1、行列式2n1.n行列式共有n 个元素，展开后有n !项，可分解为2行列式；2. 代数余子式的性质：①、A和a的大小无关；ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；i+ji+j3. 代数余子式和余子式的关系：M=(-1)AA=(-1)Mijijijij4. 设n行列式D：n(n-1) 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D=(-1)2 D；11 n(n-1) o2 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D=(-1)D；22 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D=D

2、；33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D=D；445. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1) ②、副对角行列式：副对角元素的乘积´(-1)2 ；③、上、下三角行列式（◥=◣）：主对角元素的乘积；n(n-1) ④、◤和◢：副对角元素的乘积´(-1)2 ；AOACCAOAmgn⑤、拉普拉斯展开式：==AB、==(-1)ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；nnkn-k 6. 对于n阶行列式A，恒有：lE-A=l+å(-1)Sk l，其中Sk 为k阶主子式；k =1 7. 证明A=0的方法：①、A=-A；②、

3、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)

4、=(A)TTT***-1-1-1 (AB)=BA(AB)=BA(AB)=BA4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：æA1 öç÷A若A=ç2÷，则：çO÷ç÷AèsøⅠ、A=AALA；12s-1 æAö1 ç-1 ÷A-1 ç2 ÷Ⅱ、A=；çO÷ç÷ç-1÷AèsøAO-1 A-1 Oæöæö②、ç÷=ç÷；（主对角分块）-1èOBøèOBøOA-1 OB-1 æöæö③、ç÷=ç÷；（副对角分块）-1èBOøèAOøæACö-1 æA-1-A-1CB-1 ö④、ç÷=ç÷；（拉普拉斯）-1èO

5、BøèOBøAO-1 A-1 Oæöæö⑤、ç÷=ç÷；（拉普拉斯）-1-1-1èCBøè-BCABø3、矩阵的初等变换与线性方程组æErOö1. 一个m´n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=ç÷；èOOøm´n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B)ÛA:B；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非 0 元素必须为1；③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r-1

6、①、若(A,E):(E,X)，则A可逆，且X=A；c-1-1 ②、对矩阵(A,B )做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(A,B)~(E,AB)；r-1③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b):(E,x)，则A可逆，且x=Ab；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；2æl1 öç÷l②、L=ç2÷，左乘矩阵A，l乘A的各行元素；右乘，l乘A的各列元素；iiçO÷ç÷lènø-1 æ1öæ1ö-1 ç÷ç÷③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)=E(i

7、,j)，例如：1=1；ç÷ç÷çè1÷øçè1÷ø-1 æ1öæ1öç÷-1 1ç÷ç1÷④、倍乘某行或某列，符号E(i(k ))，且E(i(k))=E(i())，例如：k=(k¹0)；kç÷çk÷çè1÷øç÷è1ø-1 æ1köæ1-kö-1 ç÷ç÷⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))=E(ij(-k))，如：1=1(k¹0)；ç÷ç÷çè1÷øçè1÷ø5. 矩阵秩的基本性质：①、0£r(A)£min(m,n)；m´nT②、r(A)=r(A)；③、若A:B，则r(A)=r(B)；④、