线性代数须熟记的结论

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1、§5.1向量的内积、长度及正交性本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化和二次型的化简问题其中涉及向量的内积、长度及正交等知识本节先介绍这些知识上页下页铃结束返回首页向量的内积设有n维向量x(x1x2xn)Ty(y1y2yn)T令[xy]x1y1x2y2xnyn[xy]称为向量x与y的内积说明内积是两个向量之间的一种运算其结果是一个实数用矩阵记号表示当x与y都是列向量时有[xy]xTy下页向量的内积设有n维向量x(x1x

2、2xn)Ty(y1y2yn)T令[xy]x1y1x2y2xnyn[xy]称为向量x与y的内积内积的性质设xyz为n维向量为实数则(1)[xy][yx](2)[xy][xy](3)[xyz][xz][yz](4)当x0时[xx]0当x0时[xx]0(5)[xy]2[xx][yy]——施瓦茨不等式下页向量的长度令

3、

4、x

5、

6、称为n维向量x的长度(或范数)向量的长度的性质设xy为n维向量

7、为实数则(1)非负性当x0时

8、

9、x

10、

11、0当x0时

12、

13、x

14、

15、0(2)非负齐次性

16、

17、x

18、

19、

20、

21、

22、

23、x

24、

25、(3)三角不等式

26、

27、xy

28、

29、

30、

31、x

32、

33、

34、

35、y

36、

37、>>>下页向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角当x0y0时当[xy]0时称向量x与y正交显然若x0则x与任何向量都正交定理1若n维向量a1a2ar是一组两两正交的非零向量则a1a2ar线性无关>>>下页例1已知3维向量空间R3中两个向量a1(111)Ta2(1

38、21)T正交试求一个非零向量a3使a1a2a3两两正交解设a3(x1x2x3)T则a3应满足a1Ta30a2Ta30即a3应满足齐次线性方程组取a3(101)T即合所求得基础解系(101)T下页注当

39、

40、x

41、

42、1时称x为单位向量规范正交基设n维向量e1e2er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1e2er两两正交且都是单位向量则称e1e2er是V的一个规范正交基例如向量组是R4的一个规范正交基下页规范正交基设n维

43、向量e1e2er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1e2er两两正交且都是单位向量则称e1e2er是V的一个规范正交基向量在规范正交基中的坐标若e1e2er是V的一个规范正交基那么V中任一向量a应能由e1e2er线性表示并且a[ae1]e1[ae2]e2[aer]er事实上设a1e12e2rer则eiTaieiTeii即ieiTa[aei]下页说明要找一组两两正交的单位

44、向量e1e2er使e1e2er与a1a2ar等价这样一个问题称为把a1a2ar这个基规范正交化施密特正交化方法设a1a2ar是向量空间V中的一个基取向量组下页施密特正交化方法设a1a2ar是向量空间V中的一个基取向量组容易验证b1b2br两两正交且b1b2br与a1a2ar等价把b1b2br单位化即得V的一个规范正交基下页例2设a1(121)Ta2(131)

45、Ta3(410)T试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解令b1a1再令e1e2e3即为所求下页例3已知a1(111)T求一组非零向量a2a3使a1a2a3两两正交a2a3应满足方程a1Tx0即x1x2x30它的基础解系为1(101)T2(011)T把基础解系正交化即得所求亦即取解下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量

46、且两两正交n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基正交矩阵举例下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵简称正交阵正交矩阵的性质(1)若A为正交阵则A1AT也是正交阵且

47、A

48、1(2)若A和B都是正交阵则AB也正交阵正交变换若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换设yPx为正交变换则有这说明