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1、正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积概念的引入1-3序列极限求半径为R的圆的面积.公元前3世纪刘徽的“割圆术”.1.序列极限的定义.例如：从而因为序列：从而但是，并非所有序列都有一个固定的变化趋势，比如我们就称为了精确地表明“无限增大”和“无限接近”的意义，考查点到的距离定义则称序列的极限存在.如果序列没有极限,就说序列是发散的.即的几何解释:其中例1的极限是1，问n从何值开始有证因此选取则当n>N时，就有要使所以如请读者自己思索当时，取N=111111或者更大正整数可以吗？可与否的根据是什么？由此，得出（3）定
2、义中N的多值性.极限证明中的放大法要从解出n,放大,从解出n来，便得到N.放大法应该遵循什么准则呢？就是当补例证（1）分析因当n>1时，证例2设a>1是给定的实数，则注意到a>1,两边取以a为底的对数即得或则当n>N时，就有故例3设证明等比数列证欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.2.夹逼定理证由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例4设a>1是任意给定的常数.考查是否有极限.解考虑n>[a]+1,有也即应用夹逼定理，得例5设k为大于1的正整数，证明；证当n>2k时，上式右端的分母
3、中每项因子大于，有例6设a>1是一常数，试证明证令h=a-1，则h>0,且于是应用夹逼定理即得到设a>1,k为任意自然数，试证明通过上述例子可以看出，虽然序列{n}(或都是趋于无穷大的，但趋于无穷大的“速度”不同：3.极限不等式定理2.证推论1定理34.极限的四则运算定理4证则我们有例7求极限解例8求极限解注：定理4可推广到有限次加减乘除运算的情形.但是对无限次运算不一定成立.例求极限（错）因为加法运算不是有限次运算.正确的做法是：子序列的概念在序列{an}中任意抽取无限多项并保持这些项在原序列{an}中的先后次序，
4、这样得到的一个序列称为原序列{an}的子序列.例如组成一个子序列.这个子序列中的第k项，恰好是序列中的第2k-1项.设在序列中，第一次抽取，第二次在后抽取,第三次在后取，如此下去，得到一个序列这个序列就是序列{an}的一个子序列.注意：定理5证特别地，我们有注意如果序列有两个子序列具有不同的极限，那么序列就不可能有极限.例如取两个子序列：例9设5.一个重要极限证（1）先证是递增的.利用二项式公式,有大大正比较可知根据实数域的完备性，在实数域中单调有界序列有极 限；特别地，单调递增有上界的序列有极限.因此，序列记此极限
5、为e,e为无理数,其值为即又有极限.例10求极限解补例1(利用夹逼准则)习题1-31.2.4.(1)(3)(4);5.6.7.(1)(3)(5);8.(2)(3);9.则有即解故极限存在，.设,且求设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则解补例21-4函数的极限首先介绍高等数学中常用的一个概念，邻域.点的邻域去心邻域左邻域右邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.对y=f(x),自变量x的变换过程的六种形式：1.单侧极限符号函数我们称符号函数在原点的右极限为1，左极限为-1.1-1xyo函数y={x}
6、====x-[x]我们称函数y={x}在x=1处的右极限为0，左极限为1.函数y=sinx:故函数sinx在处的左、右极限都是1.现在考虑自变量x的变化过程为如果在的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值,那么就说是函数f(x)当时的极限.在的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于，就是能任意小.如数列极限概念所述，能能任意小这件事可以用来表达，其中是任意给定的正数.定义左极限右极限2.双侧极限定义设y=f(x)是定义在一点a的空心邻域上，若存在一个实数,对于任意给定的，无论它多么小，都存在一个，使得则我们
7、称当x趋于a时f(x)以为极限，记作或定义简单地表述为：几何解释（存在）（存在）（存在）例1例2例2证时，注：（1）邻域半径——表示x趋近1的程度，它和有关：（相应性）(2)邻域半径不是唯一的，如上例证例2证明.e<例3证明只要另外考虑到，可见，即有例3证明证3.关于函数极限的定理定理1圆扇形AOB的面积（重要极限）证当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注例4当时注定理2设f(x)及g(x)是定义在点a的一个空心邻域内的函数.若则有例5求解将上式分子分母同时除以x,例6求解补例注：则有定理3推论定理
8、4定理5设函数f(x)定义在a点的一个空心邻域内，并且.假若是一串在该空心邻域内取值的序列，且则有函数极限与数列极限的关系定理5有定义,且有设即使得证特别地，有定义,且对上述,使得于是当时故只要说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个序列不存在.法2找两个趋于的不同序列及使例7证明不存在.证取两个趋于0的序列及有由定理7知不存在.4.
