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1、第四节一、平面区域的面积、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用第九章11.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分次序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法2立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为直角坐标极坐标一、平面区域的面积3二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投
2、影为d,(称为面积元素)则4故有曲面面积公式5例1.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.6解7三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数试分别位于为为求出该物体质心的坐标。8将分成n小块,将第k块看作质量集中于点即令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点9同理可得则得形心坐标：10若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其
3、面密度—对x轴的静矩—对y轴的静矩11例3.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀薄片12例4*.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为h的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为1314四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故物体的转动惯量可用积分计算.15类似可得:对x轴的转动惯
4、量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量16如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.17例5.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.18解:取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量例6.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)19G为引力常数五、物体的引力在上积分即得引力各分量:设物体占有空间区域,物体对点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为20对xoy面上的平面薄片D,它对点处的的引力分量为单位
5、质量质点21例7.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。22例8.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点23为球的质量24作业P9716，18P1163，5，7（3），11,25(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)备用题26提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极
6、坐标)27由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.28
