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1、第1章集合（习题及参考解答）3．等式()A−BC∪=−A(B−C)成立的的充要条件是什么？解若()A−=BC∪A−(B−C)，则CA⊂−(B)∪C=A−(BC−)⊂A即，C⊂A.反过来,假设C⊂A,因为B−C⊂B.所以,A−B⊂A−(B−C).故,()A−BC∪⊂A−(B−C).最后证，A−()BC−⊂(A−B)∪C对于∀∈xAB−()−C，则x∈A且x∉B−C.如果x∈C，显然有x∈(A−B)∪C；如果x∉C,因x∉B−C，则x∉B.因此，x∈A−B，则x∈−(AB)∪C.从而，A−()BC−⊂(A−B)∪C于是，()A−BC
2、∪=−A(B−C)⎧1,x∈A∞4．对于集合A，定义A的特征函数为χA(x)=⎨，假设{}Ai是0,x∉Ai=1⎩一集列，证明：(i)χ(x)=liminfχ(x)liminfAAnnnn(ii)χ(x)=limsupχ(x)limsupAAnnnn证(i)因为∀x∈=liminfAA∪∩()，∃n∈`，对于∀m≥n有nn00nnm∈≥`nx∈Am，则χA(x)=1.所以,infχA(x)=1.故mm≥n0mliminfχ(x)=supinfχ(x)=1nAnm≥nAmb∈N此外，对于∀x∉liminfA，即∀n∈`有x∉∩A.
3、所以,∃k∈`使得nnnnmn≥k≥n并且x∉A,则χ=0.因此，infχ(x)=0.故,supinfχ(x)=0.nkmAknmn≥Amm≥nAmb∈N即,liminfχ(x)=0.Ann▉▉实变函数习题参考解答从而,χ(x)=liminfχ(x).liminfAAnnnn(ii)方法与(i)雷同.i−1∞5．设{}Ann=1为集列，B1=A1，BAii=−∪Aj(i>1)证明：j=1∞(i){}B互相正交；nn=1nn(ii)∀∈n`,∪∪AB=iiii==11n−1证(i)∀nm,∈`，n≠m，不妨设n>m，因为B=−AA
4、∪⊂nnii=1A−A并且B⊂A，则B⊂A−A⊂A−B.故B∩B=∅.nmmmnnmnmnm∞即，{}B相互正交.nn=1nn(ii)因为∀i(1≤i≤n)，有B⊂A.所以,∪∪B⊂A.iiiiii==11nn下证：∪∪AB⊂.iiii==11nn因为当n=1时，A=B并且当n≥1时，∪A=∪B.则我们有11iii=1i=1n+1nn+1nnn∪A=()∪∪AAA=−(∪)∪(A∪A)=()∪B∪(B−∪B).iin++11iniin+1ii=1ii==11i=1i=1i=1n事实上，∀∈x∪A，则∃i(1≤i≤n)使得x∈A，
5、令iii=1i=min{i
6、x∈A且1≤i≤n}0ii0−1ni0−1则x∈A−∪A=B⊂∪B，其中，当i=1时，∪A=∅.i0ii0i0ii=1i=1i=1nn从而，∪A=∪B.iii=1i=16．设f(x)是定义于E上的实函数，a为常数，证明：∞1(i)E{x
7、f(x)>a}=∪{f(x)≥a+}n=1n∞1(ii)E{x
8、f(x)≥a}=∩{f(x)>a−}n=1n2第1章集合██证(i)∀x∈E{x
9、f(x)>a}，即x∈E且f(x)>a，则∃n∈`使得fx()11∞1≥+aa>且x∈E.故xE∈{
10、xf(x)≥+a}⊂
11、∪Ex{
12、f(x)≥+a}.从nnn=1n∞1而，E{
13、xf(x)>⊂a}∪E{x
14、f(x)≥a+}.n=1n∞11反之,∀∈xE∪{
15、x{xf(x)≥a+},∃n∈`使得x∈E{x
16、f(x)≥a+}.n=1nn1即，f()xa≥+>a并且x∈E，故x∈E{x
17、f(x)>a}.于是，n∞1∪E{
18、xf(x)≥+a}⊂E{x
19、f(x)>a}.n=1n∞1从而，Ex{
20、f(x)>=a}∪E{x
21、f(x)≥a+}n=1n∞7．设{(fx)}是E上的实函数列，具有极限f(x)，则对任意常数a有：nn=1∞1∞1E{
22、xf(x)≤a}=∩
23、liminfEx{
24、f(x)≤a+}=∩liminfEx{
25、f(x)<+a}nnk=1nkk=1nk1证∀∈xEx{
26、f(x)≤a}，∀k∈`，则f(x)≤a≤a+并且x∈E.因为k1limf(xf)=(x)，则∃n∈`使得∀m≥n，有f(x)≤a+.故对于∀≥mn有nnn→∞k11xE∈{
27、xf(x)≤a+}，因此，x∈∩E{x
28、f(x)≤a+}.即，mmkm≥nk∞11xE∈≤∪∩{
29、xf(x)a+}=liminfE{x
30、f(x)≤a+}.mmnm=≥1nknk∞1再由k的任意性，x∈∩liminfE{x
31、f(x)≤a+}.
32、nk=1nk∞1反过来，对于∀x∈∩liminfE{x
33、f(x)≤a+}，∀k∈`，有nk=1nk11x∈liminfE{x
34、f(x)≤a+}=∪∩Ex{
35、f(x)≤a+}mmnknm∈≥`nk1即∃∈n`，∀m≥n时，有f(x)≤a+并且x∈E.所以，mk3▉
