初中数学平面几何之中点.doc

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1、初中数学平面几何之------中点问题口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求

2、：ΔCDF的面积。解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。∴ΔCDF的面积为。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE

3、，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。（三）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，从而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是

4、等腰三角形。证明：延长AD到E，使DE=AD。仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE

5、，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中点定义）∠1=∠5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）∴∠3+∠2=9

6、0°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（辅助线作法）∠EDF=∠FDM（已证）DF=DF（公共边）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CF>EF上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC

7、+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。练习：1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中