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时间:2020-03-18
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1、第二章z变换和DTFT本章主要内容:1、z变换的定义及收敛域2、z变换的反变换3、z变换的基本性质和定理4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系6、离散系统的z变换法描述§2.1z变换的定义及收敛域信号和系统的分析方法有两种:——时域分析方法——变换域分析方法连续时间信号与系统——LTFT离散时间信号与系统——ZTFT一、ZT的定义z是复变量,所在的复平面称为z平面二、ZT的收敛域对于任意给定序列x(n),使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和1)有限长序列除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外,整个z
2、平面均收敛。如果n2≤0,则收敛域不包括∞点如果n1≥0,则收敛域不包括0点如果n1<03、n4、,a为实数,求ZT及其收敛域给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列,只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析,不能有极点,故:右边序列的z变换收5、敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内§2.2z反变换实质:求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法:围线积分法(留数法)部分分式法长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1、围数积分法求解(留数法)若函数X(z)zn-1在围数C上连续,在C以内有K个极点zk,而在C以外有M个极点zm,则有:1、围数积分法求解(留数法)根据复变函数理论,若函数X(z)在环状区域内是解析的,则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数,即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点z6、m,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上,则:利用留数定理求围线积分,令若F(z)在围线c上连续,在c内有K个极点zk,则:单阶极点的留数:思考:n=0,1时,F(z)在围线c外也无极点,为何2、部分分式展开法求解IZT:常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1若函数X(z)是z的有理分式,可表示为:利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。例2设利用部分分式法求z反变换。解:3、幂级数展开法求解(长除法):一般X(z)是有理分式,可利用分子多项式除分母多项式(长除法法)得到幂级数展开式,从而得到x(n)。根据收敛域判断x(n)的性质,在展开成相7、应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列例1ROC1:)1长除法示例解:由Roc判定x(n)是因果序列,用长除法展成z的负幂级数ROC2:)1解:由Roc判定x(n)是左边序列,用长除法展成z的正幂级数解:X(z)的Roc为环状,故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列,极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式1、线性性§2.3Z变换的基本性质和定理R1∩R2R8、a9、RR2、序列的移位3、z域尺度变换(乘以指数序列)4、z域求导(序列线性加权)Z变换的基本性质(续)5、翻褶序列1/RR6、10、共轭序列7、初值定理8、终值定理Z变换的基本性质(续)9、有限项累加特性ZT的主要性质参见书p.69页的表2-210、序列的卷积和11、序列乘法12、帕塞瓦定理§2.4序列ZT、连续信号LT和FT的关系若:连续信号采样后的拉氏变换LT——抽样序列:当两变换之间的关系,就是由复变量s平面到复变量z平面的映射,其映射关系为对比:进一步讨论这一映射关系:1s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω=Ω0正实轴ω=0实轴Ω=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:抽样序列在单位圆上的z变换,就等于其理想抽样信号的傅里叶变换数字频率w表示z平面的辐角,它和模拟角频率W的关系为11、在以后的讨论中,将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数,即所以说,数字频率是模拟角频率的归一化值,或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p§2.5离散信号的付氏变换DTFT一、DTFT的定义变换对:称为离散时间傅里叶变换(DTFT)。FT存在的充分必要条件是:如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,如周期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。二、比较ZT和DTFT的定义:利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例1、计算门序列的DTFT(类似Sa(.)函数)(线性相
3、n
4、,a为实数,求ZT及其收敛域给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列,只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析,不能有极点,故:右边序列的z变换收
5、敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内§2.2z反变换实质:求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法:围线积分法(留数法)部分分式法长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1、围数积分法求解(留数法)若函数X(z)zn-1在围数C上连续,在C以内有K个极点zk,而在C以外有M个极点zm,则有:1、围数积分法求解(留数法)根据复变函数理论,若函数X(z)在环状区域内是解析的,则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数,即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点z
6、m,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上,则:利用留数定理求围线积分,令若F(z)在围线c上连续,在c内有K个极点zk,则:单阶极点的留数:思考:n=0,1时,F(z)在围线c外也无极点,为何2、部分分式展开法求解IZT:常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1若函数X(z)是z的有理分式,可表示为:利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。例2设利用部分分式法求z反变换。解:3、幂级数展开法求解(长除法):一般X(z)是有理分式,可利用分子多项式除分母多项式(长除法法)得到幂级数展开式,从而得到x(n)。根据收敛域判断x(n)的性质,在展开成相
7、应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列例1ROC1:)1长除法示例解:由Roc判定x(n)是因果序列,用长除法展成z的负幂级数ROC2:)1解:由Roc判定x(n)是左边序列,用长除法展成z的正幂级数解:X(z)的Roc为环状,故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列,极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式1、线性性§2.3Z变换的基本性质和定理R1∩R2R
8、a
9、RR2、序列的移位3、z域尺度变换(乘以指数序列)4、z域求导(序列线性加权)Z变换的基本性质(续)5、翻褶序列1/RR6、
10、共轭序列7、初值定理8、终值定理Z变换的基本性质(续)9、有限项累加特性ZT的主要性质参见书p.69页的表2-210、序列的卷积和11、序列乘法12、帕塞瓦定理§2.4序列ZT、连续信号LT和FT的关系若:连续信号采样后的拉氏变换LT——抽样序列:当两变换之间的关系,就是由复变量s平面到复变量z平面的映射,其映射关系为对比:进一步讨论这一映射关系:1s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω=Ω0正实轴ω=0实轴Ω=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:抽样序列在单位圆上的z变换,就等于其理想抽样信号的傅里叶变换数字频率w表示z平面的辐角,它和模拟角频率W的关系为
11、在以后的讨论中,将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数,即所以说,数字频率是模拟角频率的归一化值,或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p§2.5离散信号的付氏变换DTFT一、DTFT的定义变换对:称为离散时间傅里叶变换(DTFT)。FT存在的充分必要条件是:如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,如周期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。二、比较ZT和DTFT的定义:利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例1、计算门序列的DTFT(类似Sa(.)函数)(线性相
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