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《Fourier分析和逼近论研究问题方法的探讨.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、Fourier分析和逼近论研究问题方法的探讨吴妙仙（浙江广厦建设职业技术学院基础部，浙江东阳322100）摘要：揭示函数性质与Fourier展开的内在联系，并用连续函数多项式逼近、正线性算子逼近、Pourier逼近、插值逼近等方法探讨逼近论研究的问题和方法。关键词：Fourier分析逼近论收敛ExplorationonFourierand^ApproachingTheory”ResearchMethodWuMiaoxian(BasicSubjectDept.GuangshaCollegeofAp
2、pliedConstmctionTechnology;Dongyang322100.Zhejiang)Abstract:ItcxplainstherelationshipbetweenthepropertyoffunctionandFourierexplores"ApproachingTheory5'researchmethodthroughconsistentfunction.Keywords:Fourieranalysis;"ApproachingTheory'';convergence1F
3、ourier分析设/（X）在全实轴-oo<%<+oo上有定义，具有周期2龙。要对/（兀）作逼近，自然会想到利用三角(1)(2)函数系1,cosj:,sinx,cos2x,sin2x,从分析中知道，由于⑴在区间［0,2龙］上的直交性:£coskxcosnvcdx£skxsmxdx=0km“,sinkxcosmxdx=07tk=Jo可得/(兀)的展开式/(兀)~cosx+b}sinx+6f2cos2x+b2sin2x—2其中Fourier系数d「如分别为@丄「f(x)coskxdx,bk=丄
4、「/(x)sinkxdx0有时为了方龙Jo兀Joix__ixix._ix+<»便，常把级数（2）写成复数形式。即由sinx=ycosx=―可得/（兀）〜工cf,其22k=vak-ibk并且容易看到q=<2务+ibkk>0k<0k=0从微积分学中知道，在一定条件下，级数（2）是收敛到/（x）的。但是其收敛速度都依赖于函数及其导数的连续性。即使函数/（兀）在整个区间［0,2龙］上有定义，并且有良好的解析性质，由于/（兀）及其导数在端点x=0及兀=2龙处的不连续性，也仍然会影响级数（2）的收敛速度，现
5、对其考察如下：首先，设/（兀）在区间［0,2龙］上由连续折线组成：/（x）=Qj+0M，gvxvxJ=l,2,・・・J,再设/（0）=/（2兀）。则由它的Fourier系数为a,-—「f(x)coskxdx=—兀北.71T荻+恥警'(a-+fijX)coskxdx%严/3sinkxs厂Jgdx>kMx=max
6、/?J则ak<—(3)2/_2/0]_k~k~7C—,因此可以看到，级数（2）兀按庐的速度收敛。（2）只能按丄的速度收敛。kak=—ff(t)cosktdt如果/（兀）是由不连续折线组
7、成时，则（3）第一项不能消去，因此级数再进一步，如果/（兀）具有一阶连续导数，并且除有限多个点bG…山外二阶导数也连续，则——「厂(/)sinktdt=———Y[/"(f)cosktdt。kTiJ-龙k兀=J也令二max
8、厂⑴
9、.・••血卜芈•2/二丰，丄,同理
10、^.
11、<芈1•-。加-k7Tk71更一般如/（兀）具有m-1阶连续导数，并且除有限多个点外，m阶导数也连续，则级数（2）按厶的k速度收敛，当m阶导数在整个区间上连续时，（2）按丄的速度收敛。k这就揭示了函数的性质与Fourier展开的内
12、在联系。2逼近论研究的问题和方法2.1连续函数用多项式逼近问题：/Cr)G[O,l],对V£>0,问使
13、/(x)-pH(x)
14、<£的几(x)是否存在？(几⑴为多项式函数)。方法：(1)用构造法找pH(%),如Bernstein/(兀)=亍/(乂3(1-兀严=/(劝一乞(/,兀)，($(/,劝是几多项式)k=0n对Vr>0,mN当n>N时
15、/(x)—v£。可求出a}a2,...yano(2)Bnf(x)-f(x)=£w(/,x)速度如何？(3)速度与/的性质关系。理论上B”-»/(x)o应用上
16、有缺陷(速度太慢儿2.2正线性算子的逼近定理：若是{Llt}是C[a,h]到C[a,h]的正线性算子列。若Ltl满足：对于勺(兀)=1,e{(x)=x,e2(x)=工，有&角，兀)zz>ei(x),则对任何/(x)gC[a,b]都有Ln(f,x)=>f(x),于是必满足厶”(1,兀)=>1,厶〃(匚兀)=>x,L„(r9x)=>2.3最佳逼近问题：设/(x)eC[a,b],V£>0,3p(x)・
17、/(x)-/?(x)
18、<£,取一个n次代数多项式R“=
19、/(x)-p0(x)
20、=
21、/o)+d()+4
