fourier分析和逼近论研究问题方法的探讨

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1、便，常把级数（2）写成复数形式。即rhsinx=ixe-e,cosx=IXI-uce+e可得1>，如，其—ooFourier分析和逼近论研究问题方法的探讨吴妙仙（浙江广度建设职业技术学院棊础部，浙江东阳322100）摘要：揭示函数性质与Fourier展开的内在联系，并川连续函数多项式逼近、正线性算子遥近、Fourier逅近、插值遍近等方法探讨逼近论研究的问题和方法。关键词：Fourier分析逼近论收敛ExplorationonFourierand“ApproachingTheory”Resear

2、chMethodWuMiaoxian(BasicSubjectDept.GuangshaCollegeofAppliedConstructionTechnology:Dongyang322100.Zhejiang)Abstract:ItexplainstherelationshipbetweenthepropertyoffunctionandFourierexplores“ApproachingTheory”researchmethodthroughconsistentfunction.Keyw

3、ords:Fourieranalysis;“ApproachingTheory”；convergence1Fourier分析设/GO在全实轴-oo

4、inx+“2cos2x+b2sin2x+…71其中Fourier系数七分别为〜=丄厂/（义）。有时为了方ak-ibkLk>02.ck=f(x)e~ikxdx,并且容易看到q么k<06f()k=0从微积分学屮知道，在一定条件下，级数(2)是收敛到/(%)的。但是其收敛速度都依赖于函数及其导数的连续性。即使函数/(%)在整个区间［0,2;^上有定义，并且有良好的解析性质，由于/(x)及其导数在端点％=0及x=处的不连续性，也仍然会影响级数(2)的收敛速度，现对其考察如下：首先，设/Cr)在区间［0

5、,2兀］上由连续折线组成：/(x)=6^,.+x._,

6、/?JK'Jak

7、，并且除有限多个点…，G外二阶导数也连续，则ak=丄厂f{t)cosktdt=pft)sinktdt=，⑴cosktdt。令M2=max/"(，)[_71同理卜々I22M,71更一般如/Cr)具有m-l阶连续导数，并且除有限多个点外，m阶导数也连续，则级数(2)按一的k速度收敛，当m阶导数在整个区间上连续吋，(2)按的速度收敛。这就揭示了函数的性质与Fourier展开的内在联系。2逼近论研究的问题和方法2.1连续函数用多项式逼近闷题：/(x)g[0,1],对Vr〉O，fuj使

8、/⑺—的几(x)

9、是否存在？(A,(x)为多项式函数)。方法：(1)用构造法找P„(x)，如Bernstein，⑺=^，Ac；y(l-x)w(B„(，，x)是多项式)A=0n对V£〉o,彐N当"〉/V时

10、.,(x)-B„/(x)

11、<£。可求出“2，...，6z"。(2)Bnf(x)~f(x)=^(/，x)速度如何？(3)速度与/的性质关系。理论上氏/(%)。应用上有缺陷(速度太慢)。2.2正线性算子的逼近定理：若是是C[6f，/2]到C[a,b]的正线性算子列。若满足：对于％(%)=1，e{(x)=x,e2(

12、x)=x2,有Ln(e,.,x)=>e{(x),则对任何/(x)eC[a，刎都有Ln{f,x)=>/(x)，于是必满足L(1，x)3l，I,,(r，x)=>%，L"(z2，x)3义2。2.3最佳逼近M题：设/(x)eC[a,b],V£>0,3p(x).

13、/(x)-p(x)

14、<£，収一个《次代数多项式R„=

15、/W-p0W

16、=

17、/W+6Z。+%x+•••+anxninfmax

18、/(x)+“()+AX+...+OV"=£"/(«,•eR,xe[a,b])方法：⑴存在最佳逼近多项式；^(义)=<++…+