2018届中考数学总复习（福建 练习）：专题五线段最短问题.doc

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1、专题五　线段最短问题[来源:学优高考网]第1题图1．(2017·内江)如图，已知直线l1∥l2，l1，l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ＝4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA＋AB＋BQ最小，此时PA＋BQ＝16.2．(2017·南充)如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝AB.(1)求证：EF⊥AG；第2题图(2)若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只写结果，

2、不需说明理由)?(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB时，求△PAB周长的最小值．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°，∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB.∴＝，＝，∴＝，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF＝∠BAG，∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°，∴∠AOE＝90°，∴EF⊥AG；(2)解：成立；(3)解：过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于N点，如解图①：则MN⊥AD，MN＝AB＝4，∵P是正方形ABC

3、D内一点，当S△PAB＝S△OAB，作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，与MN交于点P，此时△PAB的周长最小，∵PA＝PA′，∴∠PAA′＝∠PA′A，∵∠PAB＋∠PAA′＝90°，∠PBA＋∠PA′A＝90°，∴∠PAB＝∠PBA，∴PB＝PA＝PA′，∵点A′与点A关于MN对称∴A′M＝AM，第2题解图∴PM＝AB，∵MN＝AB，∴PM＝PN＝2，连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG＝AB＝4，∴△AOF∽△GOE，∴＝＝，∵MN∥AB，∴＝＝，∴AM＝AE＝×2＝，由勾股定理得：PA＝＝，∴△PAB周长的最小值＝2P

4、A＋AB＝＋4.3．(2017·宁德模拟)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，点B和点D的坐标分别为(m，0)，(n，4)，且m＞0，四边形ABCD是矩形．(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；(2)在图②中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；[来源:学优高考网gkstk](3)探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．图①　图②　图③第3题图[来源:学优高考网](导学号　12734132)解：(1)m＝1；第3题解图①(2)画法：如解图①

5、：①过点A画AB的垂线l1，过点B画AB的垂线l2，②过点E(0，4)，画y轴的垂线l3交l1于D，③过点D画直线l1的垂线交直线l2于点C，所以，四边形ABCD是所求作的图形，过点C作CF⊥x轴于点F，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，[来源:学优高考网]∴AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABO＋∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABO，同理：∠ABO＝∠DAE，∴∠BCF＝∠DAE，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF＝n，AE＝CF＝1，易证△AOB∽△DEA，∴＝，∴＝，∴n

6、＝，[来源:学优高考网]∴OF＝OB＋BF＝m＋，∴C(m＋，1)；第3题解图②(3)如解图②，由矩形的性质可知，BD＝AC，∴BD最小时，AC最小，∵B(m，0)，D(n，4)，∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m＝n，即：AC的最小值为4，连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于点E，由矩形的性质可知，DM＝BM＝BD＝2，∵A(0，3)，D(n，4)，∴DE＝1，∴EM＝DM－DE＝1，在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE＝，∴m＝，即：当m＝时，矩形ABCD的对角线的长最短为4.